Cálculo de área de polígonos utilizando matrizes

É possível calcular a área de polígonos utilizando determinantes. Para isso é necessário saber a localização dos vértices do polígono no plano cartesiano. Entenda!

Sabia que podemos usar determinantes de matrizes para calcular a área de polígonos? Vem aprender com a gente como usar o método para calcular a área de um polígonos no plano cartesiano!

Matrizes e o cálculo de área de polígonos

Matrizes são ferramentas poderosas para a solução de problemas, principalmente quando estamos trabalhando com sistemas lineares. Nesta aula, vamos nos aprofundar em outra aplicação para o estudo de matrizes: o cálculo de áreas de polígonos na geometria analítica. Para isso, precisaremos das coordenadas de seus vértices, saber como calcular determinantes de matrizes e um pouco de intuição geométrica.

Como calcular a área de um triângulo usando determinante

Na geometria plana, quando queremos calcular a área de um triângulo qualquer, podemos usar uma variedade de fórmulas. A mais comum é a que associa sua base e altura com a área total:

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Fórmula de área do triângulo

Onde b é o tamanho da base e h é a altura.

Enquanto isso, na geometria analítica podemos fazer o uso de uma fórmula bem parecida. Supondo que conheçamos as coordenadas dos três vértices de um triângulo, podemos calcular a sua área usando a seguinte fórmula:

Fórmula de área do triângulo na geometria analítica

Onde D é o determinante da matriz V formada pelas coordenadas dos vértices do triângulo, que tem a seguinte forma:

Determinante para cálculo de área de triângulo

Em que x1 e y1 são as coordenadas do primeiro vértice, x2 e y2 são as coordenadas do segundo vértice e x3 e y3 são as coordenadas do terceiro vértice.

Exemplo 1

Calcule a área do triângulo ABC em seguida:

Triângulo para cálculo de áreaUm triângulo formado pelos pontos A=(1,1), B=(2,4) e C=(4,2)

Primeiramente identificamos as coordenadas de cada vértice de ABC:

  • A = (1,1)
  • B = (2,4)
  • C = (4,2)

Em seguida, precisamos montar a matriz formada pelas coordenadas dos vértices, e calcular o seu determinante.

Para isso, a ordem com que escolhemos os pontos não importa. Mas, é preciso lembrar que x1 se refere à coordenada no eixo x, e que y1 se refere à coordenada no eixo y. Ou seja, se considerarmos B nosso primeiro ponto, temos:

x1 = 2 e y1 = 4

Substituindo todas as coordenadas na matriz dos vértices:

Matriz com coordenadas dos vértices

Calculando o seu determinante obtemos:

D = det(V)

D = (4 + 4 +4) – (2 + 2 + 16)

D = -8

Por fim, substituindo na fórmula para o cálculo da área:

Cálculo da área por determinante

Como calcular a área de polígonos com mais de três lados

A fim de calcular a área de polígonos com mais de três lados utilizando determinantes não poderemos fazer o cálculo da área diretamente. Na verdade, faremos a divisão do polígono em quantos triângulos for necessário.

Dessa forma, conseguimos calcular a área de cada triângulo usando a mesma fórmula do exemplo anterior. Depois disso iremos somar todas elas a fim de obter a área total do polígono.

Exemplo 2

Calcule a área do quadrilátero ABCD:

Polígono para cálculo de áreaUm quadrilátero formado pelos pontos A=(1,1), B=(3,4), C=(4,3) e D=(3,2)

Primeiramente, note que podemos usar a diagonal BD para dividir a figura em dois triângulos, ABD e BCD, da seguinte forma:

Polígono para cálculo de área com divisão de triângulosQuadrilátero ABCD dividido pela diagonal BD nos triângulos ABD e BCD.

Sabemos que a área de ABCD vai ser a soma da área dos triângulos ABD e BCD. Portanto, vamos utilizar o mesmo procedimento do exemplo anterior para fazer o cálculo da área dois triângulos.

Começando pelo triângulo ABD, montamos a matriz das coordenadas dos vértices:

Matriz com coordenadas dos vértices de um polígono

Em seguida, calculamos o seu determinante:

DABD = det(VABD) = (4 + 6 +3) – (12 + 2 + 3)

DABD = 13 – 17 = -4

E substituímos na fórmula:

Fórmula de área de um polígono

Em seguida, repetimos o procedimento para o triângulo BCD:

Matriz com cálculo de áreaDBCD = det(VBCD) = (3 + 8 + 12) – (3 + 6 +16)

DBCD = 23 – 25 = -2

Fórmula de área de um polígono

Como a área do quadrilátero será igual a soma das áreas dos triângulos, concluímos:

AABCD – AABD = ABCD = 2 + 1

AABCD = 3

Para não se perder utilizando esse método, fica uma dica valiosa: quando dividir o polígono em triângulos, comece sempre tentando usar todas as diagonais partindo de um único vértice, assim como nos exemplos a seguir:

Polígono com divisão em triângulosPentágono ABCDE sendo dividido pelas diagonais EB e EC, ambas partindo de E, e formando os triângulos ABE, BCE e CDE.

Hexágono com divisão em triângulosHexágono ABCDEF sendo dividido pelas diagonais EA, EB e EC, as três partindo de E, e formando os triângulos ABE, BCE, CDE e AEF.

Uma outra forma de utilizar esse método, é focar na subtração de áreas.

Exemplo 3

Calcule a área de ABCDEF:

Polígono para cálculo de áreaPentágono ABCDE composto pelos pontos A=(1,4), B=(4,4), C=(4,1), D=(2,3) e E=(1,1).

Se fossemos nos guiar pelos exemplos anteriores, teríamos que dividir o pentágono em três triângulos, calcular suas respectivas áreas e somá-las. Entretanto, podemos encontrar um procedimento mais fácil pensando na subtração de áreas.

Note que a área de ABCDE vai ser igual à área do quadrado ABCE menos a área do triângulo CDE. Portanto, podemos calcular a área do quadrado e subtrair dela a área do triângulo.

Polígono de um quadradoIlustração de como o pentágono ABCDE e o triângulo CDE formam juntos o quadrado ABCE.

Nesse caso, começamos calculando a área do quadrado. Note que o lado do quadrado mede 3. Com nossos conhecimentos de geometria plana podemos calcular diretamente:

AABCE = l² = 3² = 9

Para calcular a área do triângulo, vamos utilizar o mesmo método dos exemplos anteriores:

Matriz com coordenadas dos vértices de um triângulo

DCDE = det(VCDE) = (12 + 1 + 2) – (3 + 4 +2)

DCDE = 15 – 9 = 6

Fórmula de área de um polígono

Para concluir o exercício, vamos subtrair a área da região triangular da área total do quadrado. Dessa forma, encontraremos a área do pentágono ABCDE.

AABCDE = 9 – 3 = 6

Método alternativo do cálculo de área por determinantes

Agora que você já sabe o método tradicional do cálculo de área por determinantes, vamos aprender um método mais rápido, em que você não precisa fazer a divisão em triângulos, mas que requer mais organização na hora de fazer as contas.

Vamos usar de exemplo um quadrilátero, mas o método funciona para um polígono com qualquer número de lados.

Exemplo 4

Calcule a área do quadrilátero ABCD em seguida:

QuadriláteroUm quadrilátero formado pelos pontos A=(1,2), B=(2,4), C=(3,4) e D=(4,1)

Para usar esse método você também irá precisar das coordenadas dos vértices. Mais que isso, a fórmula final da área será igual, o que vai mudar realmente é a forma como calculamos D.

Para calcular D, comece escolhendo um ponto inicial e um sentido, horário ou anti-horário. Para a resolução deste exemplo, utilizaremos o ponto A e o sentido horário:

Quadrilátero com uma curva de origem em A simbolizando o sentido horárioQuadrilátero ABCD com uma curva de origem em A simbolizando o sentido horário.

Em seguida, precisamos listar os pontos na ordem que eles aparecem com base no sentido escolhido e, no fim, repetimos o primeiro. No nosso caso, a ordem será: A, B, C, D e A.

Agora, com base na ordem obtida, vamos listar a ordem dos pontos de forma parecida com o método anterior:

1 2

2 4

3 4

4 1

1 2

A partir dessa listagem de coordenadas, vamos fazer algumas operações simples. Primeiramente vamos fazer as seguintes multiplicações nas diagonais da esquerda para a direita apontando para baixo:

Multiplicação de diagonais

Isto é: 1 vezes 4 resultou em 4, 2 vezes 4 resultou em 8, 3 vezes 1 resultou em 3, e 4 vezes 2 resultou em 8. Vamos somar todos esses produtos:

4 + 8 + 3 + 8 = 23

Repetimos esse procedimento, só que agora com as diagonais da esquerda para a direita apontando para cima:

Multiplicação de diagonais

Ou seja: 2 vezes 2 resultou em 4, 3 vezes 4 resultou em 12, 4 vezes 4 resultou em 16, e 1 vezes 1 resultou em 1. Somando os produtos:

4 + 12 + 16 + 1 = 33

Com esses dois valores, vamos calcular D subtraindo o primeiro do segundo:

D = 23 – 33 = -10

Aplicando esse valor de D na fórmula, obtemos:

Fórmula de área de um polígono

Videoaula

Depois de ver o exemplo desse método alternativo, você pode querer assistir a essa aula do professor Cicero Silveira do canal “Matemática 100cola”, onde ele apresenta o método resolvendo um exercício.

Exercícios sobre cálculo de área de polígonos

1- (UPENET/IAUPE – 2021)

Flávia, aluna do 3º ano do Ensino Médio, em uma aula de matemática, traçou os eixos x e y do sistema cartesiano ortogonal na malha abaixo e, em seguida, marcou os pontos A (-3, 1), B (0, 4), C (5, 4) e D (-2, -3). Se os quadradinhos da malha têm lado unitário, qual é a medida da área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A, B, C e D do plano cartesiano criado por Flávia?

Quadriculado

a) 14 √2

b) 22

c) 18 √2

d) 24

e) 25

2- (Puc-rio 2009)

Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1).

Gráfico

a) 5/2

b) 3

c) 7/2

d) 4

e) 9/2

3- (UERJ – adaptada)

No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.

Gráfico com triângulo

Em relação a esse triângulo, calcule a sua área.

a) 8

b) 7

c) 9

d) 17/2

e) 15/2

Gabarito:

  1. E
  2. C
  3. A

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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