Como calcular arranjos simples, com repetição e condicionais

O arranjo é um tipo de análise combinatória em que a ordem dos elementos é importante. Saiba como calcular diferentes tipos de arranjo neste resumo de Matemática!

Entenda a diferença entre tipos de agrupamento e confira um estudo completo sobre os arranjos. Quando terminar, você pode revisar com os exercícios corrigidos.

Análise combinatório e arranjos

Um dos objetivos da análise combinatória é estudar a quantidade de agrupamentos possíveis, dado um conjunto de elementos e características relativas a esses agrupamentos.

Essas características criam categorias de arranjamentos das quais podemos separar em dois tipos principais: combinações e arranjos.

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É muito comum haver confusão entre esses dois tipos de agrupamento. Por isso, nesta aula vamos começar definindo bem quais as diferenças entre os dois e, em seguida, vamos dar um foco especial nos arranjos.

Diferença entre arranjo e combinação

Para entender a diferença entre esses arranjo e combinação temos que entender a diferença entre as duas perguntas a seguir:

  • De quantas maneiras podemos ordenar 4 cartas distintas de um baralho contendo 10 cartas diferentes?
  • De quantas maneiras conseguimos separar 4 cartas distintas de um baralho contendo 10 cartas diferentes?

A diferenciação das perguntas é caracterizada pela palavra “ordenar”. Na primeira, a ordem em que as 4 cartas aparecem é importante, como a pilha de compra em um jogo de cartas. Já na segunda, a ordem em que as cartas estão não é relevante para a pergunta, pois queremos apenas separar as cartas.

Pense na mão de um jogador em um jogo de cartas, não importa se ele tem as cartas na ordem 1, 2, 3 e 4 ou na ordem 4, 3, 2 e 1.

Essa é a principal distinção entre os dois métodos. No arranjo procuramos agrupamentos onde a ordem importante, assim como na primeira pergunta. Enquanto isso, na combinação estamos à procura de agrupamentos onde a ordem não tem relevância, como na segunda pergunta.

O que é um arranjo

Como dito anteriormente, a principal característica dos arranjos é a importância na ordem dos elementos. Mesmo que dois arranjos contenham os mesmos elementos, se a ordem não for a mesma eles são considerados diferentes, como as palavras Amor e Roma. Vamos à primeira pergunta para demonstrar como trabalhamos com arranjos.

Exemplo de arranjo simples

Calcule de quantas maneiras podemos ordenar 4 cartas distintas de um baralho contendo 10 cartas diferentes.

Precisamos de 4 cartas em ordem e começamos com 10 opções de cartas. Depois de escolher a primeira carta, temos 9 opções para a segunda, em seguida 8 opções para a terceira e por fim 7 opções para a quarta.  Sabemos pelo princípio fundamental da contagem que podemos multiplicar o número de opções que tivemos para cada carta para chegar no número máximo de possibilidades. Fazendo isso, obtemos:

10 . 9 . 8 . 7 = 5040

Problema resolvido! Mas, antes de seguir para o próximo, vamos pensar um pouco no cálculo que fizemos e tentar achar uma possível fórmula.

Fórmula do arranjo

Note que a multiplicação que escrevemos parece muito com um fatorial de 10, só que interrompido no 7. Na verdade, a fórmula tem exatamente relação com isso, sendo n o número de elementos diferentes no conjunto e p o número de elementos diferentes que você quer ordenar. Portanto, a fórmula para calcular o arranjo será:

Fórmula do arranjo

O denominador nessa fórmula faz a função de limitar o fatorial do numerador até a última multiplicação adequada. Esse tipo de arranjo é aquele que chamamos de arranjo simples. Vamos ver um exemplo de como aplicar a fórmula.

Exemplo 2

Calcule de quantas maneiras conseguimos enfileirar 5 alunos de uma turma de 15.

Começamos substituindo “n” pelo número de elementos do conjunto (15) e “p” pelo número de alunos a serem ordenados (5):

Arranjo de 5 e 15

Em seguida, desenvolvemos e simplificamos os fatoriais:

Arranjo de 5 e 15 com fatoriais

Fazendo as devidas contas, obtemos:

Arranjo de 5 e 15 resultado

Agora, vamos ver algumas variações de arranjos.

Arranjo com repetição

Como o nome indica, arranjos com repetição são aqueles em que os elementos que estão sendo ordenados podem ser repetidos quantas vezes forem necessárias. Vamos ver um exemplo onde esse método se aplica.

Exemplo 3

Imagine que você queira produzir o gabarito para uma prova de múltipla escolha com 10 questões e com 4 alternativas por questão. De quantas maneiras diferentes conseguimos produzir esse gabarito?

Primeiramente, note que você não precisa se limitar quanto a ordem das opções no gabarito. Supondo que as alternativas sejam letras de “a” até “c”, pode existir uma prova onde todas as questões têm como resposta a alternativa “a”.

Veja que na primeira questão teremos 4 alternativas de resposta, para a segunda questão teremos 4 alternativas de resposta, para a terceira questão também teremos 4 alternativas, e assim será para todas as 10 questões.

Usando o princípio multiplicativo, sabemos que o número de maneiras será igual à multiplicação de todas as alternativas de resposta por questão, portanto, obtemos:

4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 .4 . 4 . 4 = 410

Assim sendo, podemos formular essa prova de 410 (1.048.579) maneiras.

Mas, e se o número de questões fosse 8 e tivéssemos 5 alternativas para cada questão? Ora, usando a mesma lógica, para cada uma das 8 questões teríamos 5 alternativas, usamos o princípio multiplicativo e encontramos como resposta:

5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 58

Essa prova teria 58 (390.625) gabaritos diferentes.

Fórmula do arranjo com repetição

Podemos inferir a fórmula para esse tipo de arranjo a partir desses exemplos. Para “n” elementos ordenados de “p” em “p”, sendo possível a repetição de elementos, a fórmula que define de quantas maneiras diferentes podemos arranjá-los será:

Fórmula de arranjos com repetição

Vamos ver um exemplo de como usar a fórmula na prática.

Exemplo 4

Calcule de quantas maneiras podemos organizar em fila balões decorativos das cores vermelho, verde e azul de forma que tenhamos 7 balões.

Começamos substituindo “n” pelo número de alternativas que temos por balão (3) e “p” pelo número de balões que temos que organizar (7):

Arranjo com repetição 7 e 3

Calculando essa potência, obtemos:

Arranjo com repetição 7 e 3 resultado

Arranjo condicional

Por fim, vamos ver um tipo de arranjo muito comum em provas de vestibulares e Enem. No arranjo condicional, parte dos elementos dos quais estamos trabalhando estão condicionados. Vamos ver um exemplo de arranjo condicional.

Exemplo 5

Calcule de quantas maneiras podemos enfileirar 5 alunos de uma turma de 15, de forma que a primeira e a última posição sejam ocupadas por 2 destes 15 alunos.

Neste exemplo temos como condicionadas a primeira e última posição do nosso arranjo. Para resolvê-lo, vamos ter que pensar no problema de forma separada. Primeiramente, pensaremos de quantas formas podemos distribuir os dois alunos entre as duas posições. Em seguida, de quantas formas podemos distribuir os alunos remanescentes.

Começando pelo primeiro e último, é bem claro que podemos ordená-los de duas maneiras diferentes. Mas seria possível calcular isso através de um arranjo simples, usando “n” como 2 e “p” com “2”.

Agora, dos alunos remanescentes, note que sobraram 13 alunos, já que 2 deles já estão em seus lugares, e temos que ordenar 3 deles nos espaços que sobraram. Isso é um claro arranjo simples onde “n” é 13 e “p” é 3. Aplicando a fórmula, obtemos:

Cálculo de arranjos

Usando o princípio multiplicativo, devemos multiplicar o número de maneiras encontrado na primeira parte do problema com o número de possibilidades encontrado na segunda parte do problema.

2 . 1.716 = 3.432

Portanto, vamos poder dispor esses alunos de 3.432 maneiras.

Os arranjos condicionais não possuem fórmula própria e se baseiam apenas nas fórmulas dos outros dois tipos de arranjos e no princípio multiplicativo.

Videoaula sobre arranjo

Agora que você já leu nossa aula pode aproveitar e assistir a videoaula em seguida sobre arranjos:

Exercícios sobre arranjos

1- (ENEM/2020)

Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha.

Exercícios sobre arranjos

Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.

Qual expressão representa o número total de códigos existentes?

a) 45 – 44 – 43

b) 45 + 44 + 43

c) 45 44  43

d) (4!)5

e) 45

2 – (ENEM/2017)

Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Tabela de exercício sobre arranjos

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

3- (UFT TO/2019)

Segundo estatísticas do Departamento Nacional de Trânsito – DENATRAN, em janeiro de 2019, havia 101.050.113 veículos emplacados no Brasil. Considere que as placas sejam formadas da maneira usual: três letras quaisquer do alfabeto da Língua Portuguesa (incluindo as letras K, Y e W) seguidas por quatro algarismos quaisquer de 0 a 9, e que não existam restrições na escolha das letras e algarismos. Quando o DENATRAN divulgou a estatística acima, quantos veículos ainda poderiam ser emplacados conforme o sistema utilizado?

a) 709.887

b) 624.000

c) 670.000

d) 760.000

4- (ESPM SP/2018)

O número de anagramas da palavra COLEGA em que as letras L, E e G aparecem juntas em qualquer ordem é igual a:

a) 72

b) 144

c) 120

d) 60

e) 24

GABARITO:

  1. B
  2. E
  3. A
  4. B

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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