Como resolver uma equação matricial: resumo com exemplos

Vamos juntos aprender como resolver todo tipo de equação matricial para garantir aquela questãozinha no Enem? Se liga que ao final da aula tem exercícios para fixar bem o assunto!

Na matemática, quando queremos descobrir o valor numérico de algo é muito comum colocarmos nosso problema em forma de equação. Elas funcionam muito bem, já que nos permitem fazer contas de forma rápida e organizada.

Com matrizes não é diferente. Podemos usar ferramentas parecidas com aquelas que utilizamos com números para resolver problemas de forma muito eficiente.

Introdução às Matrizes

Veja agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, um resumo com a introdução ao tema do cálculo matricial.  Pode parecer um assunto complicado, mas não se assuste!  Veja agora.

Então, como você acompanhou no resumo do professor Lucas, se você já estudou e fez exercícios envolvendo matrizes eu te garanto que já resolveu uma equação matricial.

Como resolver uma equação matricial

Quando resolvemos equações, nosso principal objetivo é encontrar o valor da incógnita, que usualmente chamamos de x. No contexto de equações matriciais essa incógnita vai ser uma matriz e normalmente será chamada de X.

De forma geral, o método de resolução para equações matriciais é o mesmo utilizado para equações envolvendo números reais: queremos usar as operações básicas com o objetivo de isolar a incógnita. Entretanto, o trabalho com matrizes envolve algumas regras específicas que vamos aprender nessa aula.

Para isso, utilizaremos alguns exemplos. Acompanhe comigo.

Exemplo: resolva a equação matricial A = X – B sendo

Para resolver a equação acima, primeiramente podemos substituir as matrizes A e B fornecidas pela questão para montar nossa equação matricial. Veja:

Quando o assunto é soma e subtração, trabalhamos da mesma forma que trabalhamos com números. Sendo assim, podemos somar e subtrair uma matriz de ambos os lados da equação – também conhecido como “mais passa menos” e “menos passa mais”.

Nesse caso, vamos passar a matriz B do lado direito para o lado esquerdo. Como ela está subtraindo o lado direito, ela vai passar somando o lado esquerdo. Dessa forma:

Resolvendo essa soma de matrizes obtemos o valor de X:

Importante: Não é porque estamos trabalhando com equações que podemos esquecer das regras de operações com matrizes! Se A e B fossem de ordens diferentes, a equação não faria sentido matemático. Isso porque não podemos somar matrizes de ordens diferentes.

Regras para a resolução da equação matricial

Fazer uma lista de todas as regras para operações envolvendo equações matriciais seria muito extenso. Vamos, então, focar naquelas que mais vão aparecer na resolução de exercícios de provas:

1- Não saia fazendo qualquer operação! Fique sempre atento(a) a ordem das matrizes com que você está trabalhando. Como visto acima, as matrizes envolvidas na equação precisam ter a mesma ordem.

2- Você pode somar e subtrair matrizes de ambos os lados de uma equação matricial:

A + B = 0

A + B – B = 0 – B

A = -B

Ou ainda:

A – C = B

A – C + C = B + C

A = B + C

3- Para facilitar a resolução de um exercício, você pode multiplicar ou dividir ambos os lados de uma equação matricial por um número:

4- Você NÃO pode dividir ambos os lados de uma equação matricial por uma matriz.

5- Você pode multiplicar ambos os lados de uma equação matricial por uma matriz, desde que a multiplicação em ambos os lados exista e a multiplicação seja pelo mesmo sentido – pela esquerda pela ou direita:

B = C

AB = AC

BA = CA

6- Quando somar dois produtos de matrizes com uma matriz em comum, você pode deixar essa matriz em evidência, desde que ela esteja do mesmo lado em ambos os produtos:

AB + AC = A (B + C)

Ou ainda:

BA + CA = (B + C) A

Agora que sabemos quais regras seguir, vamos ver como elas aparecem em outros exemplos de exercícios.

Exemplos de exercícios com equação matricial

Agora que sabemos quais regras seguir, vamos ver como elas aparecem em outros exemplos de exercícios.

Exemplo 1

Resolva a equação matricial X + 2A = 3X + B onde

Primeiramente, vamos montar a equação:

Nessa equação temos mais elementos, inclusive alguns envolvendo a incógnita X. Da mesma forma que o exemplo anterior, podemos seguir os procedimentos para equação envolvendo números. Como sempre, queremos isolar a incógnita do resto da equação:

Aqui, temos que lembrar que quando multiplicamos matrizes por um número estamos apenas multiplicando seus elementos por esse número, portanto:

Pela regra 2, podemos dividir ambos os lados por um número. Sendo assim, dividindo ambos os lados por -2 chegamos em:

Fazendo as contas devidas, obtemos:

O próximo exemplo é um clássico e entender o raciocínio por trás da sua resolução é muito importante.

Veja Operações com Matrizes

Confira cdom o professor Lucas, agora, as dicas para resolver operações básicas de soma ou multiplicação de matrizes:

 

Exemplo 2

Calcule X dada a equação matricial AX = B onde .

Se A, B e X fossem números, bastaria dividir ambos os lados por A e encontrar o valor de X. Entretanto, como sabemos pela regra 3, não podemos falar em divisão de matrizes. Um dos métodos para a resolução desse exercício vai se apoiar na multiplicação direta das matrizes A e X. Para isso, você vai precisar de uma matriz de incógnitas para entrar no lugar de X, ou seja:

Nesse caso, você teria que perceber previamente que a matriz X seria de ordem 2×1. Fazendo a análise do resultado utilizando seu conhecimento de multiplicação de matrizes, você deve lembrar que está multiplicando A (uma matriz 2×2) por uma X matriz e o resultado é uma matriz (2×1). Portanto, a ordem da matriz X será 2×1.

Sendo assim, precisamos calcular os valores de a e b para encontrar X. Montando a equação de matrizes, obtemos:

Fazendo a multiplicação de matrizes, ficamos com:

Para calcular a e b podemos, então, resolver o sistema:

Que nos fornece resultado idêntico ao método anterior:

Outro método para a resolução dessa questão se apoia no uso da matriz inversa.

Note que, se A possui inversa, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de A de forma a isolar X. Felizmente, como o determinante de A é diferente de 0, sabemos que A possui inversa, portanto:

A^-1 AX = A^-1 B

IX = A^-1 B

X = A^-1 B

Agora, basta calcular a inversa de A e o produto A^-1 B. Calculando a inversa de A obtemos:

Substituindo A^-1 e B na equação e em seguida fazendo o seu produto, obtemos:

Exemplo 3

(UNESP-2014) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:

a) B – I ≠ 0, onde I é a matriz identidade de ordem n e 0 é a matriz nula de ordem n.

b) B é invertível.

c) B ≠ 0, onde 0 é a matriz nula de ordem n.

d) B – I é invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.

e) A e C são invertíveis.

Para resolver essa questão, precisamos saber qual das alternativas precisa ser verdade para obtermos uma resposta da forma (X = Expressão matricial). Para isso, vamos resolver a equação usando as técnicas que aprendemos até agora. Em seguida, tentaremos identificar qual das alternativas precisamos que seja verdadeira para chegar na resposta.

Vamos começar separando os termos da equação que possuem X:

A + BX = X = 2C

BX – X = 2C – A

Agora usamos a regra 5 para colocar X em evidência. Para isso, note X = I.X, dessa forma:

BX – IX = 2C – A

(B – I)X = 2C – A

Precisamos isolar a incógnita X que está sendo multiplicada pela matriz (B – I). Perceba que se (B – I) for invertível, podemos multiplicar ambos os lados pela sua inversa, seguindo a regra 4:

(B – I)^-1 (B – I)X = (B – I)^-1 (2C – A)

X = (B – I)^-1 (XC – A)

Dentre todas as alternativas, aquela que precisamos que seja verdade é a letra D. caso contrário, não conseguiríamos multiplicar ambos os lados por (B – I)^-1 e isolar a matriz X.

Videoaula

Antes de resolver os exercícios, confira a videoaula e, em seguida, resolva os exercícios:

Exercícios

1- (IMEPAC MEDICINA – 2016/2)

Sendo a equação matricial AX = B, em que

tem-se que a soma dos elementos da matriz X é:

a) -3

b) -1

c) 1

d) 3

2- (Unicamp-2018)

Sejam a e b números reais tais que a matriz satisfaz a equação A² = aA + bI,  em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a:

a) -2

b) -1

c)1

d) 2

3- (CESGRANRIO-2011)

Considere a equação matricial AX = B. Se então a matriz X é

a)

b)

c)

d)

e)

Gabarito:

1. C
2. A
3. B

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