Aprenda as características de um dos elementos geométricos mais importantes: a reta. Confira a videoaula e exercícios corrigidos para acompanhar a explicação!
Dentro do estudo da geometria analítica, analisaremos diversas figuras geométricas de forma a encontrar expressões algébricas que as descrevam. No caso do estudo da reta não é diferente. Podemos expressá-la de maneira puramente algébrica a partir de um sistema de coordenadas, tal como o plano cartesiano.
Isso tem extrema importância, já que diversos fenômenos no mundo físico podem ser estudados de maneira linear, ou seja, utilizando uma reta. Ao longo desta aula, você verá algumas formas de expressar algebricamente uma reta e como essa matéria irá aparecer em provas e vestibulares.
Introdução ao estudo da reta
Antes de começar a aula sobre estudo da reta e suas equações, relembre dos princípios da geometria analítica com a videoaula do professor Lucas no nosso canal:
O que é uma reta
Embora a definição formal de reta seja um pouco complicada, sabemos intuitivamente o que ela é: uma linha sem ângulos ou curvas, formada por um conjunto infinito e ilimitado de pontos “indo” para duas direções opostas.
Essa última parte pode ser representada por duas setas em uma ilustração, embora, muitas vezes – geralmente quando há sentido de crescimento -, seja utilizada apenas uma. Por vezes, também omitimos ambas as setas. Veja na imagem a seguir:
Uma reta é formada por infinitos pontos que são representados por uma linha nas ilustrações. Mas, quando queremos indicar os pontos de uma reta explicitamente podemos nos limitar a quaisquer dois pontos diferentes, podemos fazer isto já que entre dois diferentes pontos passa uma – e apenas uma – reta. Observe no esquema abaixo:
Além disso, uma reta é um objeto de uma dimensão, mas podemos estudá-la em dimensões superiores. Nesta aula estudaremos a reta apenas em duas dimensões, ou seja, no plano. Também vamos nos restringir ao estudo da reta no plano cartesiano.
Condição de alinhamento de três pontos
Antes de estudarmos a reta diretamente, vamos estudar seus elementos e como eles as formam. Isto é, vamos estudar quando pontos pertencem a uma única reta ou se eles são colineares.
Já sabemos que dois pontos sempre formam uma reta e, portanto, pertencem a uma única reta. Contudo, para um conjunto de 3 pontos, isso não é necessariamente verdade. Para verificar se 3 pontos de coordenadas (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) no plano cartesiano pertencem a uma mesma reta, vamos verificar se o determinante a seguir tem valor 0.
Assim, se o determinante for igual a 0, os pontos serão colineares. Caso contrário, os pontos não são colineares.
Para entender melhor como fazer essa verificação, observe o exemplo a seguir:
Exemplo
Os pontos (1, 2), (2, 3) e (3, 4) são colineares, já que o determinante a seguir é igual a 0.
Em seguida, veja também este outro exemplo e sua resolução
Exemplo
Os pontos (1, 2), (2, 1) e (3, 4) não são colineares já que o determinante a seguir não é igual a 0.
Dica: Essa matriz é a mesma que utilizamos para calcular a área de triângulos. Esse é um método muito útil para poupar tempo em provas.
Equação geral da reta
Quando falamos em uma equação para representar a reta, queremos encontrar uma equação envolvendo as variáveis x e y, coordenadas do plano cartesiano, e que definirá o conjunto de pontos que formam a reta.
Já sabemos que uma reta pode ser definida por dois pontos. Dessa forma, se quisermos calcular a equação da reta, podemos partir de dois pontos no plano. Nesse caso, vamos utilizar de exemplo pontos A = (x1 ,y1) e B = (x2,y2). Isto é, queremos construir a equação da reta que passa pelos pontos A e B, ou seja, uma equação que caracteriza os pontos que são colineares aos pontos A e B.
Para isso, vamos usar um ponto genérico (x, y). Ora, sabemos que o ponto (x, y) será colinear aos pontos A e B quando:
Se desenvolvermos esse determinante, encontraremos uma equação com variáveis x e y que caracteriza os pontos colineares a A e B. Ou seja, que caracteriza nossa reta. É o que chamamos de equação geral da reta.
Veja no exemplo a seguir como proceder:
Exemplo
Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos (0, 2) e (2, 5).
Para isso, vamos usar a expressão que acabamos de encontrar. Primeiro montamos o determinante e igualamos ele a 0:
Agora, basta desenvolver o determinante:
-3x + 2y – 4 = 0
Essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos (0,2) e (2,5). Agora, note que o coeficiente que acompanha x é negativo. Para torná-lo positivo, você pode multiplicar toda equação por -1:
3x – 2y + 4 = 0
Ambas as equações são equivalentes e são respostas corretas, mas este procedimento de inverter o sinal pode ser útil em provas de múltipla escolha.
Equação reduzida da reta
Agora que você já sabe encontrar a equação relativa a uma reta a partir de dois pontos, vamos aprender o formato de equação reduzida da reta. É importante atentar que com a equação geral da reta podemos encontrar sua equação reduzida e, similarmente, podemos fazer o contrário.
A equação reduzida da reta não é nada mais nada menos do que uma forma de reescrever sua equação geral. A equação reduzida da reta terá sempre o seguinte formato:
ax + b = y
Onde x e y são as coordenadas dos pontos que formam a reta, e “a” e “b” são coeficientes reais chamados de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Se você já estudou funções afim, vai notar que a expressão algébrica é a mesma, afinal, a função afim é uma função linear, ou seja, uma reta.
A equação reduzida da reta tem algumas vantagens, mas a mais forte delas está nos coeficientes. Isso acontece porque ambos nos dão informações muito interessantes sobre a nossa reta.
Primeiramente, o coeficiente angular será a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Já o coeficiente linear será a coordenada y da reta quando ela intersecta o eixo y. Em outras palavras, quando x = 0 temos y = b. Você pode ver estas relações na figura a seguir.
Exemplo
A partir da equação geral da reta 2x – 2y + 6 = 0, encontre a equação reduzida equivalente.
Para resolver esse exercício, precisamos que a equação dada fique nos moldes da equação reduzida. Começamos separando termos de x e termos de y em lados opostos da equação, lembrando de fazer x acompanhar o termo independente. Para isso, basta somar 2y em ambos os lados da equação. Veja:
2x + 6 = 2y
Note que estamos quase lá, o único detalhe que falta é atentar que y deve ser acompanhado de um coeficiente 1. Dessa forma, basta dividir ambos os lados por 2:
x + 3 = y
Essa é a equação reduzida que procurávamos. Note que ela tem coeficiente angular de valor 1 e coeficiente linear de valor 3.
Exercícios sobre estudo da reta
Para concluir a aula sobre estudo da reta, resolva os exercícios abaixo:
1- (Unioeste PR/2018)
Duas retas y = ax e y = bx + c, com a, b e c constantes reais, encontram-se no ponto (3, 2). Sabe-se ainda que b = -3a. Assim, é CORRETO afirmar que as equações das retas são
a) y = 2/3 e y = -2x + 8.
b) y = 3/2 e y = -3x + 2.
c) y = 2/3 e y = -3x + 2.
d) y = -x e y = 3x + 3.
e) y = 3x e y = -9x + 2
2- (Uncisal AL/2018)
A reta de equação y = ax + b contém o ponto (1, –2) e passa pelo vértice da parábola de equação y = -8 – 2x². A equação dessa reta é dada por
a) 3x + y – 1 = 0.
b) 4x – 2y – 8 = 0.
c) 6x – 2y – 10 = 0.
d) 10x + 3y – 4 = 0.
e) 12x – y – 14 = 0.
3- (Univag MT/2019)
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a reta r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 4 e a reta s, de equação x = 9, determinando um triângulo de área 5, conforme mostra a figura.
A equação da reta r é
a) 2x – 5y + 8 = 0
b) 3x – 4y – 9 = 0
c) x + 4y + 9 = 0
d) 2x – 5y – 8 = 0
e) x – 4y – 9 = 0
Gabarito:
- A
- D
- D
