Homotetia é a redução ou ampliação de um segmento ou de uma figura a partir de um ponto fixo. Ela preserva a forma, os ângulos e as razões dos segmentos correspondentes.
O que é homotetia?
Homotetia é uma transformação geométrica entre segmentos ou figuras. De forma simplificada, podemos pensar na homotetia como o uso da semelhança entre duas imagens para facilitar a resolução de um problema.
Pense em um triângulo equilátero de lado 2 cm e um outro triângulo equilátero de lado 8 cm, por exemplo. Ambos são semelhantes: têm o mesmo formato e os mesmos ângulos.
No entanto, o segundo triângulo é 4 vezes maior do que o primeiro. Ainda assim, como são semelhantes entre si, podemos transpor algumas características para conseguir certos dados e, assim, resolver problemas.
Exemplos de homotetia
Agora que você já sabe o que é homotetia, é possível que você lembre que já deve ter resolvido exercícios usando esse conceito, mesmo sem saber que estava usando.
Quer um exemplo prático? Quando você resolve um exercício sobre a escala de um mapa em uma questão de geografia, você está usando uma razão entre duas imagens e também semelhança entre figuras.
Mais exemplos? As fotografias! Isso mesmo! As fotografias podem ser usadas como exemplo de homotetia. A imagem capturada na tela do seu celular ou câmera é praticamente uma projeção, ou seja, uma transformação geométrica. No ato de tirar foto, estamos mudando o tamanho das dimensões.
Não está entendendo? Veja a imagem 1, que é a fotografia da Avenida Beira-mar da cidade de São José, SC.
Observe que essa imagem foi produzida a partir de um espaço imenso do mundo real e que foi transformada numa imagem menor pelas lentes e pela câmara escura que é a máquina fotográfica.
Nesse caso, foi feito uma mudança de escala, ou seja, o imenso espaço fotografado foi transformado em uma escala menor na imagem capturada.
Características da homotetia
Como você viu, podemos aplicar a homotetia em vários momentos do nosso cotidiano. Vamos entender, então, como aplicar a homotetia em problemas de matemática?
Para começar, vamos à definição de homotetia:
Homotetia é a redução ou ampliação de um segmento ou de uma figura a partir de um ponto fixo. Você pode observar um exemplo dessa definição na imagem 2.
Observe que os dois triângulos da imagem 2 têm o mesmo formato e os mesmos ângulos, mas as dimensões são diferentes. Os segmentos de reta que ligam seus pontos nos ajudam a perceber essas semelhanças.
Assim, como você pode ver através desse exemplo, podemos dizer que uma homotetia preserva a forma, os ângulos e as razões dos segmentos correspondentes. Veja outro exemplo:
Homotetia direta e inversa
Observe que nos esquemas da imagem 3 aparece a letra k. Essa constante representa a razão entre os segmentos, isto é, 
.
Para utilizarmos a homotetia, precisamos entender as duas maneiras como k pode se apresenta. Quando k > 0, chamamos de homotetia direta. Já quando k < 0, chamamos de homotetia inversa. Podemos entender melhor esses dois casos observando a imagem a seguir:
Na imagem 4, o triângulo A’’B’’C’’ é uma homotetia inversa do triângulo ABC, pois a razão k é menor que zero. E também, em relação ao triangulo ABC, temos o triângulo A’B’C’ que é uma homotetia direta, pois a razão k é maior que zero.
Redução e aumento na homotetia
Podemos saber se a homotetia está aumentando ou reduzindo uma figura apenas observando a razão k.
Para isso, basta você lembrar que uma figura sofre um aumento quando |k| > 1, e sofre uma redução quando |k| < 1. Como pode ser observado na imagem 5:
Imagine que os lados do triângulo equilátero PQR tenham 2 cm cada; que os lados do triângulo P”Q”R” tenham 1 cm; e que os lados P’Q’R’ tenham 4 cm. Se calcularmos k para cada relação teremos:
= 0,5. Sendo assim, K<1. Ou seja, a figura sofreu uma redução.
= 2. Sendo assim, K>2. Ou seja, a figura sofreu um aumento.
É importante ressaltar que temos também os casos em que a razão k é igual a 1 e -1. Para k = 1, temos uma transformação identidade, isto é, seria uma imagem sobre a outra, como podemos observar na imagem 6.
Agora, quando temos k = -1, podemos dizer que uma simetria em relação ao ponto fixo (O), como mostra a Imagem 7.
Uma semelhança sempre será uma homotetia?
Vendo os casos de homotetia detalhados acima, podemos dizer que uma homotetia é uma semelhança entre figuras. Mas, temos que tomar cuidado com o inverso! Nem toda semelhança é uma homotetia.
Na definição da homotetia temos um ponto fixo (O) e esse ponto fixo é formado passando uma reta que liga os pontos A’’ e A’, que são os pontos homotética inversa e direta, respectivamente, como mostra a imagem 4. Esses pontos sempre têm que estar na mesma reta para a homotetia.
Exemplos de resolução de exercícios
Para que você entenda bem como aplicar a homotetia, veja a resolução de dois problemas usando esse conceito.
Exemplo 1
Como você construiria uma figura que fosse 5 vezes maior do que a figura original? Para responder essa questão, usarei um triângulo em que os pontos A, B e C são os vértices. Em seguida, seguirei os seguintes passos:
1- Primeiramente, fixar um ponto próximo a figura. De preferência o lado esquerdo.
2- Passar três retas r, s e t formadas pelos pontos, OA, OB e OC respectivamente.
3- Em seguida, para cada reta, marcar um ponto que seja 5 vezes a distância do ponto OA na reta r, OB na reta s e OC na reta t.
4- Por fim, nos pontos marcados, digamos A’, B’ e C’, passar um segmento entre eles.
Fazendo esses passos, você encontrará o triângulo A’B’C’, que é 5 vezes maior que o triângulo original.
Exemplo 2
Para ficar ainda mais claro o uso da homotetia, veja esta questão do Enem de 2015:
Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.
A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a
A) 4,9 e 7,6
B) 8,6 e 9,8
C) 14,2 e 15,4
D) 26,4 e 40,8
E) 27,5 e 42,5.
O texto indica que o tamanho da caneta real é 16,8 cm e na foto sofre uma redução que fica com 1,4 cm. Então, observe que 0 < k < 1. Para encontrar o valor de k, vamos fazer a razão do comprimento da caneta.
Caneta
1,4 = k . 16,8
k = 1,4 / 16,8
k = 1/12
Achando o valor de k, que é o mesmo valor de redução para o comprimento e a largura real da pegada, e fazendo os mesmos cálculos da caneta, encontraremos o comprimento e a largura real. Assim, temos,
| Comprimento
3,4 = k . x 3,4 = 1/12 . x 3,4 . 12 = x 40,8 = x |
Largura 2,2 = k . y 2,2 = 1/12 . y 2,2 . 12 = x 26,4 = x |
Portanto, o comprimento da pegada real é 40,8 cm e a largura 26,4 cm, e a resposta correta é a alternativa D.
Por fim, para complementar seus estudos veja esta videoaula do professor Barcelos:
Exercícios:
1 – (Questão criada pelo autor)
Considere um quadrado ABCD de lado 3 cm e um ponto fixo O, cuja a distância do ponto A é 6 cm. Sabendo que o quadrado A’B’C’D’ é uma homotetia direto do quadrado ABCD de lado 15 cm, então determine a distância entre os quadrado em centímetros?
2- (UFPE – 2014)
Considere os dois triângulos A e B, representados numa malha pontilhada, conforme a figura abaixo.
Podemos afirmar que (assinale verdadeiro ou falso):
- existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A’B’C’.
- a área do triângulo A’B’C’ é a metade da área do triângulo ABC.
- existe uma homotetia que transforma ABC em A”B”C”.
- existe uma homotetia de razão 1 que transforma A’B’C’ em A”B”C”.
- as retas AA’, BB’ e CC’ são concorrentes.
3- (INTEGRADO RJ – 1998)
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma e disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
GABARITO:
1) Gab: 24 cm
2) Gab: VFVFV
3) Gab: A
