Homotetia: o que é, características, exemplos e exercícios

Homotetia é a redução ou ampliação de um segmento ou de uma figura a partir de um ponto fixo. Ela preserva a forma, os ângulos e as razões dos segmentos correspondentes.

O que é homotetia?

Homotetia é uma transformação geométrica entre segmentos ou figuras. De forma simplificada, podemos pensar na homotetia como o uso da semelhança entre duas imagens para facilitar a resolução de um problema.

Pense em um triângulo equilátero de lado 2 cm e um outro triângulo equilátero de lado 8 cm, por exemplo. Ambos são semelhantes: têm o mesmo formato e os mesmos ângulos.

No entanto, o segundo triângulo é 4 vezes maior do que o primeiro. Ainda assim, como são semelhantes entre si, podemos transpor algumas características para conseguir certos dados e, assim, resolver problemas.

Exemplos de homotetia

Agora que você já sabe o que é homotetia, é possível que você lembre que já deve ter resolvido exercícios usando esse conceito, mesmo sem saber que estava usando.

Quer um exemplo prático? Quando você resolve um exercício sobre a escala de um mapa em uma questão de geografia, você está usando uma razão entre duas imagens e também semelhança entre figuras.

Mais exemplos? As fotografias! Isso mesmo! As fotografias podem ser usadas como exemplo de homotetia. A imagem capturada na tela do seu celular ou câmera é praticamente uma projeção, ou seja, uma transformação geométrica. No ato de tirar foto, estamos mudando o tamanho das dimensões.

Não está entendendo? Veja a imagem 1, que é a fotografia da Avenida Beira-mar da cidade de São José, SC.

Beira-mar de São José
Imagem 1 – Fotografia da vista da avenida Beira-mar de São José, SC.

Observe que essa imagem foi produzida a partir de um espaço imenso do mundo real e que foi transformada numa imagem menor pelas lentes e pela câmara escura que é a máquina fotográfica.

Nesse caso, foi feito uma mudança de escala, ou seja, o imenso espaço fotografado foi transformado em uma escala menor na imagem capturada.

Características da homotetia

Como você viu, podemos aplicar a homotetia em vários momentos do nosso cotidiano. Vamos entender, então, como aplicar a homotetia em problemas de matemática?

Para começar, vamos à definição de homotetia:

Homotetia é a redução ou ampliação de um segmento ou de uma figura a partir de um ponto fixo. Você pode observar um exemplo dessa definição na imagem 2.

Semelhança de triângulos - homotetia
Imagem 2 – Desenho esquemático de dois triângulos de mesmo formato e ângulos, porém de tamanhos diferentes. Retas ligam os pontos dos dois, demonstrando a semelhança geométrica entre eles, ou seja, a homotetia.

Observe que os dois triângulos da imagem 2 têm o mesmo formato e os mesmos ângulos, mas as dimensões são diferentes. Os segmentos de reta que ligam seus pontos nos ajudam a perceber essas semelhanças.

Assim, como você pode ver através desse exemplo, podemos dizer que uma homotetia preserva a forma, os ângulos e as razões dos segmentos correspondentes. Veja outro exemplo:

Segmentos de retas - Homotetia
Imagem 3 – Esquema demonstrando o aumento e a redução de um segmento de reta AB.

Homotetia direta e inversa

Observe que nos esquemas da imagem 3 aparece a letra k. Essa constante representa a razão entre os segmentos, isto é, .

Para utilizarmos a homotetia, precisamos entender as duas maneiras como k pode se apresenta. Quando k > 0, chamamos de homotetia direta. Já quando k < 0, chamamos de homotetia inversa. Podemos entender melhor esses dois casos observando a imagem a seguir:

Tipos de homotetia
Imagem 4 – Desenho esquemático demonstrando os tipos de homotetia em triângulos. Imagem feita pelo Geogebra.

Na imagem 4, o triângulo A’’B’’C’’ é uma homotetia inversa do triângulo ABC, pois a razão k é menor que zero. E também, em relação ao triangulo ABC, temos o triângulo A’B’C’ que é uma homotetia direta, pois a razão k é maior que zero.

Redução e aumento na homotetia

Podemos saber se a homotetia está aumentando ou reduzindo uma figura apenas observando a razão k.

Para isso, basta você lembrar que uma figura sofre um aumento quando |k| > 1, e sofre uma redução quando |k| < 1. Como pode ser observado na imagem 5:

Redução e aumento de triângulos - Homotetia
Imagem 5 – Desenho esquemático demonstrando a redução e o aumento do triângulo PQR.

Imagine que os lados do triângulo equilátero PQR tenham 2 cm cada; que os lados do triângulo P”Q”R” tenham 1 cm; e que os lados P’Q’R’ tenham 4 cm. Se calcularmos k para cada relação teremos:

= 0,5. Sendo assim, K<1. Ou seja, a figura sofreu uma redução.

= 2. Sendo assim, K>2. Ou seja, a figura sofreu um aumento.

É importante ressaltar que temos também os casos em que a razão k é igual a 1 e -1. Para k = 1, temos uma transformação identidade, isto é, seria uma imagem sobre a outra, como podemos observar na imagem 6.

Homotetia razão k igual a 1
Imagem 6 – Desenho esquemático demonstrando a homotetia de um triângulo cuja razão k é igual a 1.

Agora, quando temos k = -1, podemos dizer que uma simetria em relação ao ponto fixo (O), como mostra a Imagem 7.

Homotetia razão k igual a -1
Imagem 7 – Desenho esquemático demonstrando a homotetia de um triângulo cuja razão k é igual a -1.

Uma semelhança sempre será uma homotetia?

Vendo os casos de homotetia detalhados acima, podemos dizer que uma homotetia é uma semelhança entre figuras. Mas, temos que tomar cuidado com o inverso! Nem toda semelhança é uma homotetia.

Na definição da homotetia temos um ponto fixo (O) e esse ponto fixo é formado passando uma reta que liga os pontos A’’ e A’, que são os pontos homotética inversa e direta, respectivamente, como mostra a imagem 4. Esses pontos sempre têm que estar na mesma reta para a homotetia.

Exemplos de resolução de exercícios

Para que você entenda bem como aplicar a homotetia, veja a resolução de dois problemas usando esse conceito.

Exemplo 1

Como você construiria uma figura que fosse 5 vezes maior do que a figura original? Para responder essa questão, usarei um triângulo em que os pontos A, B e C são os vértices. Em seguida, seguirei os seguintes passos:

1- Primeiramente, fixar um ponto próximo a figura. De preferência o lado esquerdo.

Exercício homotetia passo 1

2- Passar três retas r, s e t formadas pelos pontos, OA, OB e OC respectivamente.

Exercício homotetia passo 2

3- Em seguida, para cada reta, marcar um ponto que seja 5 vezes a distância do ponto OA na reta r, OB na reta s e OC na reta t.

Exercício homotetia passo 3

4- Por fim, nos pontos marcados, digamos A’, B’ e C’, passar um segmento entre eles.

Exercício homotetia passo 4

Fazendo esses passos, você encontrará o triângulo A’B’C’, que é 5 vezes maior que o triângulo original.

Exemplo 2

Para ficar ainda mais claro o uso da homotetia, veja esta questão do Enem de 2015:

Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

Exercício Enem

A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a

A) 4,9 e 7,6

B) 8,6 e 9,8

C) 14,2 e 15,4

D) 26,4 e 40,8

E) 27,5 e 42,5.

O texto indica que o tamanho da caneta real é 16,8 cm e na foto sofre uma redução que fica com 1,4 cm. Então, observe que 0 < k < 1. Para encontrar o valor de k, vamos fazer a razão do comprimento da caneta.

Caneta

1,4 = k . 16,8

k = 1,4 / 16,8

k = 1/12

Achando o valor de k, que é o mesmo valor de redução para o comprimento e a largura real da pegada, e fazendo os mesmos cálculos da caneta, encontraremos o comprimento e a largura real. Assim, temos,

Comprimento

3,4 = k . x

3,4 = 1/12 . x

3,4 . 12 = x

40,8 = x

Largura

2,2 = k . y

2,2 = 1/12 . y

2,2 . 12 = x

26,4 = x

Portanto, o comprimento da pegada real é 40,8 cm e a largura 26,4 cm, e a resposta correta é a alternativa D.

Por fim, para complementar seus estudos veja esta videoaula do professor Barcelos:

Exercícios:
1 – (Questão criada pelo autor)    

Considere um quadrado ABCD de lado 3 cm e um ponto fixo O, cuja a distância do ponto A é 6 cm. Sabendo que o quadrado A’B’C’D’ é uma homotetia direto do quadrado ABCD de lado 15 cm, então determine a distância entre os quadrado em centímetros?

Exercício 1 - Homotetia

2- (UFPE – 2014)    

Considere os dois triângulos A e B, representados numa malha pontilhada, conforme a figura abaixo.

Exercício 2

Podemos afirmar que (assinale verdadeiro ou falso):

  1. existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A’B’C’.
  2. a área do triângulo A’B’C’ é a metade da área do triângulo ABC.
  3. existe uma homotetia que transforma ABC em A”B”C”.
  4. existe uma homotetia de razão 1 que transforma A’B’C’ em A”B”C”.
  5. as retas AA’, BB’ e CC’ são concorrentes.
3- (INTEGRADO RJ – 1998)    

Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma e disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:

a) 3,0

b) 3,5

c) 4,0

d) 4,5

e) 5,0

GABARITO: 

1) Gab: 24 cm

2) Gab: VFVFV

3) Gab: A

Sobre o(a) autor(a):

Denis Dalzotto é formado pela Universidade Federal de Santa Catarina e cursa o Mestrado PROFMAT na mesma instituição. Ministra aulas de Matemática em escolas da Grande Florianópolis.