Lei dos Senos dos Cossenos: o que é e exercícios

A lei dos senos e dos cossenos relaciona os valores dos senos ou cossenos dos ângulos de triângulos com as medidas de seus lados. Aprenda como utiliza-la em exercícios!

As medidas dos lados de um triângulo qualquer possuem um vínculo com os valores de seus ângulos internos. A lei dos senos e dos cossenos relaciona os valores dos senos ou cossenos desses ângulos com as medidas dos lados do triângulo. Acompanhe esta aula para entender tudo sobre o assunto!

Vale ressaltar aqui que chamamos de triângulo qualquer um triângulo que não seja retângulo.

Lei dos senos

Primeiramente veremos a lei dos senos, que diz o seguinte:

Dados uma circunferência de raio R e um triângulo qualquer inscrito nesta circunferência, as medidas dos lados do triângulo são proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência.

Talvez tenha ficado um pouco difícil de entender da forma que foi exposta, não é? Por isso, vamos à parte visual.

Circunferência com triângulo inscrito - Leis dos senos
Figura 1: Circunferência de raio R, com triângulo ΔABC inscrito. Ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.

Tomando como base o triângulo ΔABC da imagem acima, em seguida vamos ver como fica a lei dos senos.

Razão dos lados pelos seus ângulos opostos:

Lei dos senos

Os lados do triângulo são proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos:

Lados e ângulos dos triângulos

A constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência: 2R.  Ou seja, considerando o triângulo da figura 1, temos que a lei dos senos estabelece que:

Se você quiser se aprofundar no conteúdo de lei de senos, veja a aula do canal Equaciona:

Terminamos de estudar a lei dos senos, mas lá no começo dessa aula eu falei também sobre a lei dos cossenos, então vamos a ela.

Lei dos cossenos

Em um triângulo qualquer, o quadrado de um dos seus lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles.

Assim como na lei dos senos, vamos à parte visual para melhorarmos o nosso entendimento a respeito da lei dos cossenos.

Triângulo - Lei dos Cossenos
Figura 2: Um triângulo qualquer ΔABC, com ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.

Tomando como base o triângulo ΔABC da imagem acima, vamos ver como fica a lei dos cossenos para cada um dos lados.

Primeiro, em relação ao lado a:
  • O quadrado do lado a: a²
  • Soma dos quadrados dos outros dois lados: b² + c²
  • Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . b . c . cosα.
  • Sendo assim, para o lado do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:

= + 2 . b . c . cosα

Em relação ao lado b:
  • O quadrado do lado b:
  • Soma dos quadrados dos outros dois lados: a² + c²
  • Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . a . c . cosβ
  • Sendo assim, para o lado do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:

= + 2 . a . c . cosβ

Por fim, para o lado c:
  • O quadrado do lado c:
  • Soma dos quadrados dos outros dois lados: +
  • Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . a . b . cosγ
  • Sendo assim, para o lado c do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:

= + 2 . a . c . cosγ

Ou seja, considerando o triângulo da figura 2, temos que a lei dos cossenos estabelece que:

= + 2 . b . c . cosα

= + 2 . a . c . cosβ

= + 2 . a . c . cosγ

Fique ligado/a no fato de que a lei dos cossenos pode ser utilizada em qualquer um dos lados do triângulo. Muita gente acha que só é válida para um lado, mas isso não é verdade.

Em seguida, veja também uma videoaula sobre a lei dos cossenos:

Lei dos cossenos e o Teorema de Pitágoras

Agora vou te contar uma curiosidade: é possível chegar no Teorema de Pitágoras através da lei dos cossenos. Mas como isso é possível?

Vamos colocar novamente o mesmo triângulo da figura 2 aqui:

Triângulo - Lei dos Cossenos
Figura 2: Um triângulo qualquer ΔABC, com ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.

Vamos supor que α = 90º, ou seja, temos um triângulo retângulo, com ângulo reto em Â, hipotenusa a, e catetos b e c.

Lembrando que cos90º = 0, temos pela lei dos cossenos:

= + 2 . b . c . cosα

= + 2 . b . c . cos90º

= + 2 . b . c . 0

= +

Perceba que a última igualdade acima é justamente o Teorema de Pitágoras, em que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos de aplicações de lei dos senos e dos cossenos

Pronto, você aprendeu até aqui a teoria a respeito da lei dos senos e lei dos cossenos. Percebeu que não teve exemplo no meio do texto? Foi proposital.

A teoria dessas duas leis tende a ser mais fácil em comparação a outros assuntos de matemática e os alunos tendem a gostar bastante.

Por outro lado, diante de um exercício, a parte mais complicada desse conteúdo pode ser descobrir quando usar uma ou outra lei.

Por isso, deixei dois exemplos aqui no final do post, para que você possa ver os exercícios sem o viés de estar lendo sobre lei dos senos ou cossenos na hora. Assim, você vai poder interpretar o exercício do “zero” e praticar esta interpretação.

Então, vamos aos exemplos:

1- (UNEMAT MT – 2016)

A cidade de Brasília (DF) foi projetada e seu mapa foi todo desenhado para ter o formato de um avião. Já Triangolândia foi projetada no formato de um triângulo, conforme a figura abaixo.

Triângulo - Exercício lei dos senos e cossenos
Figura 3: Triângulo qualquer com um lado medindo 3 km, outro lado medindo 8km, o terceiro lado medindo x e o ângulo interno oposto ao terceiro lado medindo 60°.

Qual é a medida da distância x?

a) 6 km

b) 5,5 km

c) 5 km

d) 7 km

e) 8 km

Solução:

O exercício forneceu apenas um ângulo interno, o valor de dois ângulos do triângulo e a incógnita é justamente o lado oposto ao ângulo dado.

Por causa desses dados, faz sentido resolvermos a questão por lei dos cossenos. Então vamos a ela:

x² = 3² + 8² – 2 . 3 . 8 . cos60º

x² = 9 + 64 – 2 . 3 .8 . ½

= 9 + 64 -24

= 49

x = ± 7

Como x é o lado de um triângulo, temos que x = 7 km. Dessa forma, a resposta do exercício é a letra D.

2- (UFSC 2015 Adaptada)

Na figura abaixo, calcule a medida de a + c.

Triângulo - Exercício lei dos senos e cossenos 2
Figura 4: Um triângulo qualquer ΔABC, com ângulo A de 45° e ângulo C de 30°, AB = c = 6 cm, BC = a e AC = b.

Solução:

Na figura do exercício, temos o valor de dois ângulos internos conhecidos. Consequentemente, conhecemos também o valor do terceiro ângulo interno. Além disso, temos o valor apenas de um dos lados.

Como temos apenas o valor de um lado conhecido e, na lei dos cossenos, precisamos conhecer o valor de todos os lados, neste exercício não faz sentido utilizarmos esta lei.

Como temos o valor de um lado do triângulo, o valor de seu ângulo oposto e o valor de outro ângulo interno do triângulo e queremos saber o valor do lado oposto a esse segundo ângulo interno, faz sentido utilizarmos a lei dos senos nesta questão.

O exercício nos pede o valor de a + c, portanto, precisamos encontrar apenas o valor de a, uma vez que já conhecemos o valor de c, assim:

Exercício 2 lei dos senos

Assim,

a + c = 6 √2 + 6 = 6 (√2 + 1) cm

Portanto, esta é a resposta da questão.

Agora me conte, acertou a forma de resolução em cada um desses exemplos?

Preste atenção, pois pode ser que você encontre as duas leis em um mesmo exercício. Nesse caso, você precisará interpretar o exercício e ver em qual ordem aplicar as leis para encontrar a solução.

Exercícios

1- (UECE/2018)    

Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente 7 m e 5 . √2 m e se a medida do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em metros, do terceiro lado é

a) 12.

b) 15.

c) 13.

d) 14.

2- (FATEC SP/2017)

A maior parte dos refugiados sírios que solicita abrigo na Europa escolhe a Alemanha como destino. No entanto, muitos refugiados sírios têm vindo também para o Brasil.

Considere o triângulo ABC no qual o vértice A representa a cidade de Aleppo, na Síria; o vértice B representa a cidade de Berlim, na Alemanha, e o vértice C representa a cidade de Campinas, no Brasil.

 

Nesse triângulo, a distância entre A e B é de 3.700 km, a medida de ACB é igual a 18º e a medida de ABC é igual a 81º.

Com base nos dados apresentados, se um refugiado sírio viaja de Aleppo a Berlim e, em seguida, de Berlim a Campinas, terá percorrido no mínimo x quilômetros em todo o trajeto.

Adote:

sen 18º = 0,31

cos 18º = 0,95

sen 81º = 0,98

cos 81º = 0,16

O valor de x é mais próximo de

a) 11 300.

b) 12 300.

c) 13 300.

d) 14 300.

e) 15 300.

3- (Faculdade Guanambi BA/2018)

Considere um triângulo ABC, isósceles, cuja base BC mede 6u.c. e o ângulo A mede 120º. Se M é o ponto médio de AC, e N é um ponto de BC, tal que BN = 1/3 BC, sendo o comprimento de MN, em u.c., igual a k, então o valor de k2 é

01. 7

02. 19 – 4√3

03. 14

04. 19 + 4√3

05. 28

Gabarito:

  1. C
  2. E
  3. 01

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.