Sistemas lineares, matrizes e determinantes

Matrizes podem nos ajudar muito na hora de resolver questões envolvendo sistemas lineares em provas. Prepare-se com essa aula e ao final dela pratique com os exercícios!

Sistemas lineares e matrizes são operações matemáticas que se relacionam de maneira muito natural, de forma que podemos conseguir várias informações sobre um sistema o representando de forma matricial. Nesta aula você vai aprender como representar um sistema matricialmente e como usar isso para resolver diferentes questões.

Mas, antes de iniciar, é importante relembrar os conteúdos de sistemas lineares e matrizes. Então, confira nossas aulas:

Como representar sistemas lineares utilizando matrizes

Podemos representar sistemas lineares usando matrizes de duas formas diferentes: a forma completa e a forma incompleta.

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A principal diferença é que a forma completa possui os termos independentes do sistema enquanto a incompleta apresenta apenas os coeficientes. Vejamos cada tipo a seguir.

Matriz completa

Para representar um sistema em sua forma completa, também conhecida como matriz aumentada, iremos transpor cada equação do sistema em uma linha de uma matriz.

Para isso, iremos organizar de forma que cada coluna da matriz represente uma variável do sistema e a última coluna represente os termos independentes. Quando fizermos isso, vamos deixar de reescrever as variáveis do sistema, deixando apenas seus coeficientes.

Para entender melhor o passo a passo, veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1

Represente o sistema a seguir através da sua matriz aumentada.

Sistemas lineares e matrizes

Transpondo os coeficientes e termos independentes de cada equação para a linha de uma matriz, encontramos a seguinte matriz aumentada:

Sistemas lineares e matrizes aumentadas

Atenção: a organização na hora de montar a matriz aumentada é de extrema importância. Note na imagem a seguir como fazemos isso:

Matriz aumentada a partir de sistema linear - sistemas lineares e matrizes

Exemplo 2

Represente a matriz aumentada do seguinte sistema:

Sistema linear

Vamos resolver esse exemplo da mesma forma que fizemos o anterior. Entretanto, teremos que dar atenção a dois detalhes. O primeiro deles é o fato de a segunda equação não possuir as três variáveis do sistema. Quando isso acontece, temos que preencher o lugar que seria ocupado pelo coeficiente da variável y por 0. Caso contrário, teríamos um “buraco” na matriz.

O segundo detalhe se refere ao elemento “kx”. Embora k seja uma incógnita, ele não é variável do sistema, por isso, deve ser representado na matriz. Dessa forma, ficamos com a seguinte matriz aumentada:

Matriz Matriz incompleta

Para encontrar a matriz incompleta, também conhecida como matriz dos coeficientes, vamos utilizar os mesmos procedimentos feitos para montar a matriz aumentada. A única diferença será o fato de que além de deixar de lado as variáveis, também vamos deixar de reescrever os termos independentes.

Para ver como aplicar esse método, observe os exemplos a seguir.

Exemplo 3

Escreva a matriz dos coeficientes do seguinte sistema:

Sistema linear

Transpondo os coeficientes de cada equação para a linha de uma matriz e deixando de lado os termos independentes, encontramos a matriz dos coeficientes, que é da seguinte forma:

Matriz

Perceba que com a matriz dos coeficientes perdemos informações importantes sobre o sistema, os termos independentes ou “resultados”.

Para termos todas as informações do sistema sem apelar para a matriz completa, podemos fazer uso de equações matriciais. No caso do sistema no exemplo 3 a equação matricial que o representa é a seguinte:

Equação matricial

Utilizando a matriz dos coeficientes vamos poder determinar o número de soluções de um sistema. Para isso, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e analisar seu resultado.

Mais precisamente: quando o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de 0 sabemos que o sistema em questão possui uma única solução. Ou seja, que o sistema é possível e determinado.

Em contrapartida, quando o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema for igual a 0, sabemos que é possível e indeterminado (infinitas soluções) ou que ele é impossível (nenhuma solução).

Exemplo 4

Classifique o seguinte sistema quanto ao número de soluções:

Sistema linear

Normalmente, seria necessário resolver o sistema para classificá-lo quanto ao número de soluções. Entretanto, podemos primeiro calcular o determinante da matriz dos coeficientes para saber se ele é possível e determinado.

Começando encontrando a matriz dos coeficientes:

Matriz

Em seguida, calculamos seu determinante:

Determinante de uma matriz

Como D é diferente de 0, sabemos que o sistema é possível de determinado.

Conseguiu entender? Beleza! Agora, o exemplo a seguir é muito comum em provas de Enem e vestibulares. Então preste bastante atenção!

Exemplo 5

Determine os valores de q para que o sistema a seguir seja possível e determinado:

Matriz

Para resolver essa questão vamos começar montando a matriz dos determinantes e calculando seu determinante:

Determinante

Para que o sistema seja possível e determinado precisamos que o determinante seja diferente de 0. Ou seja, se calcularmos os valores para que isso aconteça, encontramos nossa resposta. Observe:

D ≠ 0

4 – 2q ≠ 0

-2q ≠ -4

q ≠ 2

Isto é, quando q for diferente de 2, teremos o determinante diferente de 0, e, portanto, o sistema como possível e determinado. Dessa forma, nossas respostas são os valores de q diferentes de 2, ou q ≠ 2.

Outro detalhe importante é que só podemos aplicar este método em sistemas quadrados. Ou seja, sistemas que possuem o mesmo número de equações e de variáveis.

Veja que se o número de equações fosse diferente dos números de variáveis, a matriz dos coeficientes não seria quadrada. Como não podemos calcular o determinante de matrizes não-quadradas, não seria possível aplicar o método.

Uma vantagem de saber calcular o determinante da matriz dos coeficientes é quando encontramos um sistema possível e determinado. Isto é, quando o determinante é diferente de 0, vamos poder aplicar um importante resultado chamado método, ou ainda, Regra de Cramer. O método de Cramer nos permite calcular a solução de um sistema de forma prática utilizando determinantes.

Mas, antes de  aprendermos sobre a regra de Cramer, vamos ver mais um tipo de matriz.

Matriz secundária em relação a uma variável

Felizmente, construir essa matriz é bem parecido com todas as outras que vimos até agora, principalmente com a matriz dos coeficientes.

Na verdade, ela é uma cópia da matriz dos coeficientes, com a única diferença que trocamos a coluna da variável em questão pela coluna dos termos independentes. Veja só:

Exemplo 6

Encontre a matriz secundária em relação à variável x do sistema a seguir:

Sistema linear

Se estivéssemos procurando a matriz dos coeficientes, teríamos a seguinte matriz como resposta:

Matriz

Entretanto, queremos a matriz secundária em relação a variável x. Portanto, temos que substituir a primeira coluna (aquela referente à variável x) pela coluna dos termos independentes. Substituindo, obtemos:

Matriz

Da mesma forma, se nosso objetivo fosse encontrar a matriz secundária em relação à variável y, substituiríamos a segunda coluna, obtendo:

Matriz

Método de Cramer

No método de Cramer podemos calcular a solução para variável x usando a seguinte fórmula:

Método de Cramer - sistemas lineares e matrizes

Onde D é o determinante da matriz dos coeficientes e Dx é determinante da matriz secundária em relação à variável x. Da mesma forma, podemos calcular a solução para as outras variáveis substituindo x pela variável relevante:

Variáveis no médodo de Cramer - sistemas lineares e matrizes

Para entender melhor como aplicar esse método, veja o exemplo a seguir.

Exemplo 7

Resolva o sistema a seguir:

Sistema linear

Primeiramente vamos verificar se o sistema é possível e determinado. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:

Determinante - sistemas lineares e matrizes

Como o determinante é diferente de 0, sabemos que o sistema é possível e determinado. Portanto, podemos aplicar o método de Cramer.

Vamos calcular a solução de uma variável por vez, começando por x. Substituindo a coluna dos termos independentes na primeira coluna, podemos calcular os determinantes da matriz secundária de x.

Determinante - sistemas lineares e matrizes

Aplicando na fórmula, obtemos o resultado:

Cálculo com o método de Cramer - Sistemas lineares e matrizes

Para encontrar a solução para as variáveis y e z precisamos apenas repetir o procedimento para a segunda e terceira coluna, começando por y:

Determinante

Por fim, fazemos o mesmo para z:

Determinante - sistemas lineares e matrizes

Portanto, temos como solução única para o sistema os valores:

  • x = 2
  • y = 1
  • z = -1

Videoaula sobre sistemas lineares e matrizes

Por fim, para revisar como utilizar o método de Cramer você pode assistir à videoaula do canal Matemática – Prof. Reginaldo Moraes

Exercícios sobre sistemas lineares e matrizes

1- (Unicamp SP/2018)

Sabendo que k é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y,

Sistemas lineares e matrizes - exercício

É correto afirmar que esse sistema

a) tem solução para todo k.

b) não tem solução única para nenhum k.

c) não tem solução se k = 1.

d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.

2- (UFG GO/2005)

Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes:

Sistemas lineares e matrizes - exercício 2

Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é:

a) k ≠ 4

b) k ≠ 12/11

c) k ≠ 0

d) k ≠ -12/11

e) k ≠ –4

3- (PUC SP/)

O sistema,

Sistemas lineares e matrizes - exercícioTem solução determinada, se:

a) a ≠ 4

b) a ≠ – 2 e a ≠ 2

c) a ≠ 0

d) a ≠ 1

e) n.d.a

4- (IFAL/2017)

Resolva o sistema de equações abaixo para x e y Reais e determine o valor do produto xy.

x + y = 20

4x + 2y = 54

a) 74.

b) 80.

c) 91.

d) 94.

e) 108.

GABARITO:

  1. A
  2. E
  3. B
  4. C

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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