Um polígono é inscrito quando está dentro de uma circunferência. Já quando a circunferência está dentro de um polígono, dizemos que ele está circunscrito. Entenda!
Alguns dos conteúdos estudados na geometria plana são: polígonos, circunferência e círculo. Em relação aos polígonos, estudamos também os polígonos regulares.
Na aula de matemática hoje você vai aprender como alguns polígonos regulares se relacionam com circunferências. Entenda tudo sobre polígonos inscritos e circunscritos!
Polígonos e circunferências
Podemos dizer que todo polígono regular pode ser inscrito ou circunscrito a uma circunferência. Isso quer dizer que em todo polígono regular podemos “desenhar” uma circunferência no seu interior e no seu exterior.
Resumo de Polígonos inscritos e circunscritos:
Confira agora com o professor Lucas Borguesan, do canal do Curso Enem Gratuito
Caso a circunferência esteja no interior do polígono, dizemos que a circunferência está inscrita ao polígono ou que o polígono está circunscrito à circunferência.
Por outro lado, caso a circunferência esteja no exterior do polígono, dizemos que a circunferência está circunscrita ao polígono ou que o polígono está inscrito à circunferência.
Quando tratamos do assunto de inscrição e circunscrição de polígonos, geralmente adotamos a notação de r para o raio da circunferência inscrita ao polígono, e R para o raio da circunferência circunscrita ao polígono. Vamos adotar essa mesma notação ao longo do texto.
Observação: o raio r da circunferência inscrita também é chamado de apótema. Neste caso, utilizamos a notação a para nos referirmos ao raio (ou apótema).
Estudaremos a inscrição e circunscrição do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. Isso porque são os polígonos mais comuns de aparecerem em provas. E, para fecharmos a aula, falaremos brevemente de um outro polígono que já apareceu em provas: o octógono regular.
Polígonos regulares
Vamos começar pela revisão do apótema nos polígonos circunscritos. Veja no resumo do professor de matemática Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito:
Agora que você revisou, vamos introduzir os polígonos aos poucos, começando pelo triângulo equilátero, que é uma das figuras que mais aparecem em exercícios sobre polígonos inscritos e circunscritos.
Triângulo equilátero
Veja abaixo como é a configuração de um triângulo equilátero de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:
Agora, considere a imagem abaixo:
A partir desta configuração, é válido que:
- h = r + R;
- R = 2/3h;
- r = a = 1/3h.
Sabemos também as seguintes informações a respeito do triângulo equilátero:
;
;- 2p = 3l.
Exemplo de exercício
(EFOMM – 2018)
Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10π cm?
a) 75π/4
b) 25π/4
c) 5π/2
d) 25π/16
e) 5π/4
Temos o seguinte polígono inscrito e circunscrito neste exercício:
Queremos encontrar a área da circunferência inscrita ao triângulo e, para isso, precisamos encontrar o valor de r.
Sabemos que o triângulo equilátero está inscrito numa circunferência de comprimento igual a 10π.
- Temos então que: 2πR = 10π ⇒ R = 10π/2π = 5 cm
- Assim, como R = 2/3h ⇒ 3R/2 ⇒ h = 3.5/2 ⇒ h = 15/2
- Com isso, r = 1/3h ⇒ r = 1/3. 15/2 ⇒ r = 5/2 = 2,5
Então, concluímos que S = π . r² ⇒ S ⇒ (5/2)² ⇒ S = 25.π/4. Portanto, a alternativa correta é a B.
Em seguida vamos falar sobre inscrição e circunscrição do quadrado.
Quadrado inscrito e circunscrito
Veja abaixo como é a configuração de um quadrado de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:
Agora, considere a imagem abaixo:
A partir desta configuração, é válido que:
- d = 2R;
- r = a = l/2.
Sabemos também as seguintes informações a respeito do quadrado:
- d = l√2;
- S = l²;
- 2p = 4l.
Observação: a fórmula da diagonal do quadrado em função do seu lado pode ser obtida através do Teorema de Pitágoras, a partir da seguinte configuração:
Exemplo de exercício
(IFBA – 2017)
Numa área circular, medindo 314 m² o proprietário resolve inscrever um quadrado. Na área quadrada ele irá cimentar e na área restante plantará capim. O valor numérico correspondente à medida da área que será destinada ao plantio de capim, em m² considerando π = 3,14; é um valor:
a) irracional
b) inteiro menor que 150
c) ímpar.
d) inteiro maior que 170
e) dízima periódica.
Temos o seguinte polígono inscrito neste exercício:
Queremos encontrar a área destinada ao plantio do capim. Portanto, precisamos encontrar a área do quadrado a partir da área do círculo e subtrair tais valores.
- Área do círculo – cálculo de R:
Sc = π . R² ⇒ 314 = (3,14) . R² ⇒ R = 10 m
- Cálculo da diagonal do quadrado:
D = 2R = 20 m
- Cálculo do lado do quadrado:
20 = l√2 ⇒ l = 10√2 m
- Cálculo da área do quadrado:
SQ = l² = 200 m²
- Cálculo da área do plantio de capim:
Splantio = Sc – SQ
314 – 200 = 114 m²
Como 114 é um número inteiro menor que 150, o gabarito é a letra B.
O hexágono regular é o próximo item a ser estudado na nossa lista de polígonos inscritos e circunscritos.
Hexágono regular inscrito e circunscrito
Veja abaixo como é a configuração de um hexágono regular de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:
Agora, considere a imagem abaixo:
Através da figura acima é possível deduzir as seguintes relações:
- R = l;
- r = a = l√3/2.
Sabemos também as seguintes informações a respeito do hexágono regular:
- d = 2r = l√3 (diagonal menor);
- D = 2R (diagonal maior);
- 2p = 6l.
Resumo sobre o Hexágono
Veja agora como fazer o cálculo da área de um Hexágono no resumo do professor Lucas Borguezan:
Exemplo de exercício com Hexágono
(EEAR 2019)
A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de √6 cm de raio é _____ √3 cm²
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
Temos a seguinte configuração neste exercício:
Queremos encontrar a área do hexágono regular. Como este hexágono está inscrito no círculo, temos que l = R = √6. Assim,
Portanto, o gabarito é a letra B.
Estudamos até aqui os polígonos inscritos e circunscritos mais frequentes em prova. Vamos dar agora uma atenção ao octógono regular, que de uns anos para cá apareceu em algumas provas de vestibular.
Octógono regular inscrito e circunscrito
Veja abaixo como é a configuração de um hexágono regular de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:
Através da figura acima da direita podemos inferir que:
- S = 2√2 . R²
Observação: utiliza-se a área de triângulos quaisquer sabendo que o ângulo central do octógono vale 45° para chegar à expressão acima.
Ainda, é possível encontrar outra fórmula para a área do octógono regular:
- S = 2l² . (1 + √2)
Observação: utiliza-se a decomposição do octógono em um retângulo e dois trapézios para a dedução da expressão acima.
Sabemos também a seguinte informação a respeito do octógono regular:
- 2p = 8l.
Veja os ângulos na Circunferência no resumo gratuito
Confora com o professor Lucas as dicas para você gabaritar também nas questões sobre os ângulos na circunferência
Exercícios sobre polígonos inscritos e circunscritos
Para finalizar seus estudos, veja como polígonos inscritos e circunscritos são cobrados no Enem e no vestibular.
1- (ENEM/2016)
Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para .
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é
a) 100.
b) 140.
c) 200.
d) 800.
e) 1 000.
Macetes para resolver questões de Polígonos
Exercídios para você resolver:
2- (ENEM/2018)
Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.
Se a área do círculo inscrito no hexágono é metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é
a) 9
b) 6√3
c) 9√2
d) 12
e) 12√3
3- (IFSC/2017)
Seis amigos se sentam em torno de uma mesa redonda, de maneira que formam um hexágono regular perfeitamente circunscrito à mesa, conforme ilustra a figura a seguir.
Considerando-se que a mesa tem raio de 1m, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A distância entre dois amigos que estejam lado a lado, como Ana e Bruno, é 1 metro.
02. A distância entre Ana e Bruno é a mesma que existe entre Fabio e o centro da mesa.
04. A distância entre Carla e Eric é de metros.
08. Ninguém na mesa está a mais de 1,5 m de outro amigo sentado à mesa.
16. Se a mãe de Dani colocasse uma toalha de mesa quadrada sobre essa mesa de forma que a toalha ficasse perfeitamente inscrita na circunferência, a toalha teria que ter 2 m2 de área.
Gabarito:
- A
- B
- 18
