Geometria básica: pontos, retas e projeções ortogonais

Esta é a primeira aula da nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas”. Nesta introdução, vamos destrinchar os conceitos mais básicos da geometria, explicando de forma bem completa o que cada um significa. Também teremos uma seção para explicar um assunto muito presente nas provas do Enem, as projeções ortogonais.

Estude esta aula, acompanhando-a com a videoaula e faça os exercícios presentes ao fim do post. Se em alguma aula desta série você ficar em dúvida com algum termo ou conceito, pode voltar aqui para revisá-los.

Geometria

A geometria, uma das áreas mais antigas da matemática, se preocupa em estudar objetos geométricos e suas propriedades. Dentre elas podemos apontar características qualitativas, tais como posição relativa e formato, e outras quantitativas, tais como distância, tamanho, área e volume.

Na geometria, temos alguns objetos aos quais damos o nome de noções primitivas: são conceitos tão intuitivos que ficaria difícil defini-los formalmente. Eles são o ponto, a reta, o plano (espaços 2D como uma folha de papel, base da geometria plana) e o espaço (espaços 3D como o mundo físico, base da geometria espacial).

Pontos

Ponto é um objeto sem dimensão, forma ou definição. Por isso, dizemos que ele não tem comprimento, largura ou qualquer outra medida. O ponto será a base de toda geometria, já que ele pode representar uma localização no plano ou no espaço de forma bem definida.

Costumamos representar o ponto através de um pequeno círculo. Mas, é importante lembrar que essa representação é apenas ilustrativa e que o ponto não tem dimensões tal como o círculo que desenhamos.

Retas

Retas são formadas por uma infinidade de pontos compreendidos através de linhas. Intuitivamente entendemos o que é uma linha reta, algo que não faz curvas. Entretanto, matematicamente, podemos justificar que retas não fazem curvas já que sabemos primitivamente que entre dois pontos passa apenas uma reta.

Veja na imagem que, se a linha roxa fosse considerada uma reta, teríamos duas retas passando pelos pontos A e B. Contudo, não é o que está ocorrendo. Assim, sabemos que linhas retas são… retas!

Como apenas uma reta passa por dois dados pontos, representamos retas por dois de seus pontos. Você pode ver na legenda da imagem acima que nomeamos a reta pelo nome AB.

Retas são, de fato, infinitas. Elas se estendem para ambos os lados indefinidamente. Entretanto, como queremos representá-las em um espaço finito (tal como uma folha de papel), precisamos representar apenas uma parte dela. Essa representação é feita através de uma linha, que pode ou não conter setas em ambas as suas pontas (elas servem para representar a infinidade das retas).

Segmento de reta

Segmento de reta é definido como uma parte da reta. Isto é, dentre a infinidade da linha reta, o segmento de reta será uma parte dela com início e fim bem definidos.

Plano e espaço

É muito importante darmos uma atenção especial à diferença entre plano e espaço, já que esses objetos formam geometrias diferentes, mesmo que bem parecidas. Inclusive, possuem focos diferentes no Enem.

A geometria plana é aquela que conhecemos desde muito cedo. Ela se preocupa com figuras propostas dentro de um plano, tal como uma folha de papel, um quadro, uma tela de computador etc. No plano, as figuras têm duas dimensões de medidas: a largura e o comprimento.

Para o Enem, o foco dos problemas da geometria plana vai ser principalmente no cálculo de perímetro, com um segundo fogo no cálculo de áreas.

Observe que o plano que estudamos neste “galho” da geometria não é nada menos que um objeto formado por várias e várias retas, as quais são formadas por pontos. Dessa forma, podemos dizer que a geometria plana é aquela que estuda os objetos no nosso mundo físico em um espaço que contém 3 dimensões: largura, comprimento e profundidade.

Tudo que vale na geometria plana também vale na geometria espacial. Isso acontece porque o espaço em que estudamos na geometria espacial é formado por vários e vários planos que estudamos na geometria plana. Para o Enem, as questões têm uma atenção especial no cálculo de volumes, com uma segunda atenção ao cálculo de áreas.

Da mesma forma que nas retas, representamos o plano e o espaço ilustrando apenas partes deles.

Posição relativa entre retas e pontos

Podemos classificar as posições entre um ponto e uma reta ou entre duas retas de forma a entender melhor como esses objetos se relacionam. São posições bem simples e intuitivas, o que as tornam fáceis de entender. É importante lembrar que as classificações presentes aqui valem tanto para geometria plana quanto para espacial.

Ponto pertencente a uma reta

Um ponto pertence a uma reta quando ele é um dos pontos que a compõem:

Ponto não pertencente à reta

Um ponto não pertence a uma reta quando ele não faz parte dela:

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se elas se encontram em único um ponto ou, ainda, quando elas se cruzam:

Retas perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se elas se encontram em um único ponto e formam um ângulo reto, ou seja, um ângulo que vale 90º.

Retas paralelas

Duas retas são ditas paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum, ou seja, se elas não se encontram.

Adicionalmente, dizemos que duas retas são paralelas coincidentes se elas têm todos os seus pontos em comum. Assim, duas retas que são exatamente iguais também são consideradas paralelas.

Projeção ortogonal

Um dos assuntos que mais caem em geometria no Enem é uma mistura das duas geometrias. A motivação que temos para fazer projeções ortogonais é a seguinte: como representaremos objetos do espaço (3D) em um plano (2D).

Uma das respostas a essa pergunta é aquilo que chamamos de projeções ortogonais. Intuitivamente, podemos pensar que a projeção ortogonal de um objeto é a sombra que um objeto faz em um plano exposto ao sol ao meio-dia. Veja a projeção ortogonal do ponto:

Veja agora a de um segmento de reta:

Observe que a projeção ortogonal do segmento é composta pela projeção ortogonal de todos os pontos do segmento.

O mais importante na resolução de exercícios envolvendo projeções ortogonais é manter o foco na hora de rascunhar as projeções. Vamos ver resolver um exemplo juntos:

Exemplo de projeção ortogonal

Uma formiga move-se sobre um castiçal de vidro transparente do ponto A para B em linha reta, percorre o arco circular BCD, sendo C localizado na parte da frente do castiçal, e desce o arco DE, como representado na figura.

Os pontos A, B, D e E estão sobre um mesmo plano perpendicular à mesa sobre a qual se encontra o castiçal.

A projeção ortogonal, sobre o plano da mesa, do trajeto percorrido pela formiga, do ponto A até o ponto E, é melhor representada por

a)

b)

c)

d)

e)

Veja que a projeção está sendo feita sobre o tampo da mesa, então precisamos pensar no caminho da formiga quando olhamos para ela de cima para baixo.

Para o traço AB, note que embora a formiga se mova de baixo para cima, quando olhamos o movimento por cima apenas notamos um movimento retilíneo. Dessa forma, sabemos que o trajeto AB será representado por uma reta (todas as alternativas).

Para o próximo trajeto, sabemos que a formiga vai do ponto B para o ponto D passando pelo ponto C. Note que quando observamos a lâmpada de cima para baixo, o furo tem formato circular, dessa forma, como a formiga irá este furo, o seu trajeto também terá formato circular para esses trechos (alternativas B, C e E).

Por fim, para o trajeto DE, note que ele tem as mesmas características do trajeto A e B, só é um pouco menor e tem sentido de cima para baixo. Assim, sabemos que esse trajeto também terá formato linear (alternativas A, C e D).

Assim, concluímos que a única alternativa que respeita todos os trajetos é a alternativa C.

Videoaula

Se você ainda não assistiu, recomendamos que estude este post acompanhado da videoaula a seguir. Ela é a primeira da série “Aprenda geometria de uma vez por todas”:

Exercícios sobre geometria básica

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