Equações racionais

Preparado para as provas de Matemática do Enem e dos vestibulares? Não? Só está faltando revisar a parte de Equações Racionais? Essa aula está aqui para acabar com seus problemas!

Bem lá no começo de sua história enquanto estudante, na aula de matemática, sua professora provavelmente falou: preste atenção nas frações, você vai levar esse assunto para a vida toda! Bom, ela não estava errada. Nesta aula você vai aprender uma parte bem interessante da matemática, que também envolve frações. Estamos falando das equações racionais, também chamadas de equações fracionárias.

O que determina que uma equação seja racional (ou fracionária) é que, pelo menos em um dos termos, apareça uma incógnita no denominador. A esse termo, damos o nome de fração algébrica.

Assim como fazemos em equações algébricas normais, para determinar o resultado da equação racional vamos nos valer de estratégias válidas na matemática, até que a variável tenha sido isolada em um dos lados da igualdade.

A maneira como você determina quais estratégias vai utilizar depende unicamente de você e da sua experiência enquanto estudante. Uns preferem utilizar a multiplicação cruzada, já outros escolhem calcular o mínimo múltiplo comum. Nessa aula vou apresentar algumas estratégias e em seguida nos exercícios e durante seus estudos, você escolhe a que mais se identifica, pode ser?

Equação definida

Dizemos que uma equação racional está definida quando em sua solução apresentam-se valores que pertencem ao conjunto dos números reais. O que isso significa? Que em uma fração o denominador jamais pode ser igual a zero (ou nulo). Por isso, ao apresentar o conjunto solução devemos apresentar também as restrições. Mais adiante, nos exemplos, você vai entender melhor o que isso significa.

Mínimo Múltiplo Comum

Assim como no estudo das frações, para solucionar equações racionais uma ferramenta fundamental é o uso do mínimo múltiplo comum. Vamos ver em um exemplo como isso ocorre:

Perceba que os denominadores são x+2 e x.

O primeiro passo é verificar para quais valores esta equação está definida. Lembre-se que para ela estar definida, os denominadores precisam necessariamente ser diferentes de zero, então

Isso significa que se alguma raiz for -2 ou 0 será eliminada pois não pertence à solução.

No segundo passo, para definir o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, não é necessário fazer nenhum cálculo mirabolante. Basta multiplicar os dois denominadores. Sendo assim, temos:

equações racionais

Como os dois denominadores são iguais, podemos desconsiderar, e continuar trabalhando com o restante.

equações racionais

Resultamos então em uma equação do segundo grau, e as raízes podem ser determinadas via fórmula de Bhaskara. Para não perder o foco do estudo, vou apresentar as raízes e em seguida você confere se está tudo certo!

As raízes da equação acima são x’ = 4 e x” = -1.  Nenhuma delas é igual a -2 ou a 0, então, o conjunto solução da equação é:

Multiplicação cruzada de equações racionais

Para equações racionais simples como a do exemplo anterior, para simplificar os cálculos podemos fazer uma multiplicação cruzada, ao invés de calcular o mínimo múltiplo comum. Assim temos:

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos: x (x-1) = 2 (x+2)

Isso “encurta o caminho”. A partir disso calculamos normalmente, mas essa estratégia tem que ser usada com prudência.

Vamos ver outro exemplo:

equações racionais

O primeiro passo é verificar para quais valores de x a equação não está definida

Segundo passo, calcular o MMC.

Importante: Ao calcular o MMC o conhecimento sobre fatoração se faz importante, já que equivale a .

Sendo assim, iremos fatorar o denominador  por conveniência.

equações racionais

Fazendo os cálculos:

equações racionais

Usando Bhaskara para resolver a equação do segundo grau, obtivemos as raízes com resultados:

Como nenhum desses resultados é conflitante com os valores que tornam a equação indefinida, os dois são válidos. Logo o conjunto solução é dado por:

Quer continuar estudando sobre equações racionais? Aqui tem uma sugestão de videoaula da Khan Academy 🙂

Precisando relembrar como encontrar as raízes das equações? O professor Sérgio te ajuda!

Exercícios

Questão 01)  A soma das raízes da equação  é:

a) 9

b) 11

c) 10

d) 8

e) 12

 

Gab: D

 

Questão 02)  A soma das raízes da equação  é igual a:

a) 1

b) 4

c) –3

d) 0

e) –1

 

Gab: E

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.