Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência

Um polígono é inscrito quando está dentro de uma circunferência. Já quando a circunferência está dentro de um polígono, dizemos que ele está circunscrito. Entenda!

Alguns dos conteúdos estudados na geometria plana são: polígonos, circunferência e círculo. Em relação aos polígonos, estudamos também os polígonos regulares. Na aula de hoje vamos ver como alguns polígonos regulares se relacionam com circunferências. Entenda tudo sobre polígonos inscritos e circunscritos!

Polígonos e circunferências

Podemos dizer que todo polígono regular pode ser inscrito ou circunscrito a uma circunferência.

Mas, o que isso quer dizer? Quer dizer que em todo polígono regular podemos “desenhar” uma circunferência no seu interior e no seu exterior.

Caso a circunferência esteja no interior do polígono, dizemos que a circunferência está inscrita ao polígono ou que o polígono está circunscrito à circunferência.

Por outro lado, caso a circunferência esteja no exterior do polígono, dizemos que a circunferência está circunscrita ao polígono ou que o polígono está inscrito à circunferência.

Quando tratamos do assunto de inscrição e circunscrição de polígonos, geralmente adotamos a notação de r para o raio da circunferência inscrita ao polígono, e R para o raio da circunferência circunscrita ao polígono. Vamos adotar essa mesma notação ao longo do texto.

Observação: o raio r da circunferência inscrita também é chamado de apótema. Neste caso, utilizamos a notação a para nos referirmos ao raio (ou apótema).

Estudaremos a inscrição e circunscrição do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. Isso porque são os polígonos mais comuns de aparecerem em provas. E, para fecharmos a aula, falaremos brevemente de um outro polígono que já apareceu em provas: o octógono regular.

Vamos começar pelo triângulo equilátero, que é uma das figuras que mais aparecem em exercícios sobre polígonos inscritos e circunscritos.

Triângulo equilátero

Veja abaixo como é a configuração de um triângulo equilátero de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:

Polígonos inscritos - triângulo equilátero
Imagem à esquerda: triângulo equilátero de lado l com circunferência inscrita de raio r. Imagem à direita: triângulo equilátero de lado l com circunferência circunscrita de raio R.

Agora, considere a imagem abaixo:

Polígonos inscritos - triângulo equilátero 2
Triângulo equilátero de lado l com circunferência inscrita de raio r, circunferência circunscrita de raio R e representação da altura do triângulo

A partir desta configuração, é válido que:

  • h = r + R;
  • R = 2/3h;
  • r = a = 1/3h.

Sabemos também as seguintes informações a respeito do triângulo equilátero:

  • h em triângulo inscrito;
  • S em triângulo inscrito;
  • 2p = 3l.

Exemplo de exercício

(EFOMM – 2018)

Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10π cm?

a) 75π/4

b) 25π/4

c) 5π/2

d) 25π/16

e) 5π/4

Temos o seguinte polígono inscrito e circunscrito neste exercício:

Exercício com triângulo inscrito e circunscrito
Triângulo equilátero com circunferência inscrita de raio r e circunferência circunscrita de raio R.

Queremos encontrar a área da circunferência inscrita ao triângulo e, para isso, precisamos encontrar o valor de r.

Sabemos que o triângulo equilátero está inscrito numa circunferência de comprimento igual a 10π.

  • Temos então que: 2πR = 10π ⇒ R = 10π/2π = 5 cm
  • Assim, como R = 2/3h ⇒ 3R/2 ⇒ h = 3.5/2 ⇒ h = 15/2
  • Com isso, r = 1/3h ⇒ r = 1/3. 15/2 ⇒ r = 5/2 = 2,5

Então, concluímos que S = π . r² ⇒ S ⇒ (5/2)² ⇒ S = 25.π/4. Portanto, a alternativa correta é a B.

Em seguida vamos falar sobre inscrição e circunscrição do quadrado.

Quadrado inscrito e circunscrito

Veja abaixo como é a configuração de um quadrado de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:

Polígonos inscritos - quadrado
Imagem à esquerda: quadrado de lado l com circunferência inscrita de raio r. Imagem à direita: quadrado de lado l com circunferência circunscrita de raio R.

Agora, considere a imagem abaixo:

Polígonos inscritos - quadrado de raio r e lado l
Quadrado de lado l com circunferência inscrita de raio r e circunferência circunscrita de raio R.

A partir desta configuração, é válido que:

  • d = 2R;
  • r = a = l/2.

Sabemos também as seguintes informações a respeito do quadrado:

  • d = l√2;
  • R em quadrado inscrito
  • S = l²;
  • 2p = 4l.

Observação: a fórmula da diagonal do quadrado em função do seu lado pode ser obtida através do Teorema de Pitágoras, a partir da seguinte configuração:

Quadrado com diagonal
Quadrado de lado l com diagonal d traçada entre os vértices acima e à direita, e abaixo e à esquerda.

Exemplo de exercício

(IFBA – 2017) 

Numa área circular, medindo 314 m² o proprietário resolve inscrever um quadrado. Na área quadrada ele irá cimentar e na área restante plantará capim. O valor numérico correspondente à medida da área que será destinada ao plantio de capim, em m² considerando π = 3,14; é um valor:

a) irracional

b) inteiro menor que 150

c) ímpar.

d) inteiro maior que 170

e) dízima periódica.

Temos o seguinte polígono inscrito neste exercício:

Quadrado inscrito
Quadrado inscrito em uma circunferência de raio R, com a porção interna da circunferência e externa ao quadrado hachurada.

Queremos encontrar a área destinada ao plantio do capim. Portanto, precisamos encontrar a área do quadrado a partir da área do círculo e subtrair tais valores.

  • Área do círculo – cálculo de R:

Sc = π . R² ⇒ 314 = (3,14) . R² ⇒ R = 10 m

  • Cálculo da diagonal do quadrado:

D = 2R = 20 m

  • Cálculo do lado do quadrado:

20 = l√2 ⇒ l = 10√2 m

  • Cálculo da área do quadrado:

SQ = l² = 200 m²

  • Cálculo da área do plantio de capim:

Splantio = Sc – SQ

314 – 200 = 114 m²

Como 114 é um número inteiro menor que 150, o gabarito é a letra B.

O hexágono regular é o próximo item a ser estudado na nossa lista de polígonos inscritos e circunscritos.

Hexágono regular inscrito e circunscrito

Veja abaixo como é a configuração de um hexágono regular de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:

Polígonos inscritos - hexágonos
Imagem mais à esquerda: hexágono regular de lado l com circunferência inscrita de raio r. Imagem mais à direita: hexágono regular de lado l com circunferência circunscrita de raio R.

Agora, considere a imagem abaixo:

Polígonos circunscritos - hexágono
Hexágono regular de lado l com circunferência inscrita de raio r e circunferência circunscrita de raio R.

Através da figura acima é possível deduzir as seguintes relações:

  • R = l;
  • r = a = l√3/2.

Sabemos também as seguintes informações a respeito do hexágono regular:

  • d = 2r = l√3 (diagonal menor);
  • D = 2R (diagonal maior);
  • A em hexágono inscrito
  • 2p = 6l.

Exemplo de exercício

(EEAR 2019)

A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de √6 cm de raio é _____ √3 cm²

a) 6

b) 9

c) 12

d) 15

Temos a seguinte configuração neste exercício:

Polígonos inscritos - exercício hexágono
Hexágono regular de lado l com circunferência circunscrita de raio R.

Queremos encontrar a área do hexágono regular. Como este hexágono está inscrito no círculo, temos que l = R = √6. Assim,

Cálculo de exercício com hexágono

Portanto, o gabarito é a letra B.

Estudamos até aqui os polígonos inscritos e circunscritos mais frequentes em prova. Vamos dar agora uma atenção ao octógono regular, que de uns anos para cá apareceu em algumas provas de vestibular.

Octógono regular inscrito e circunscrito

Veja abaixo como é a configuração de um hexágono regular de lado l inscrito e circunscrito à uma circunferência:

Polígonos inscritos - octógonos
Imagem à esquerda: octógono regular de lado l com circunferência inscrita de raio r. Imagem à direita: octógono regular de lado l com circunferência circunscrita de raio R

Através da figura acima da direita podemos inferir que:

  • S = 2√2 . R²

Observação: utiliza-se a área de triângulos quaisquer sabendo que o ângulo central do octógono vale 45° para chegar à expressão acima.

Ainda, é possível encontrar outra fórmula para a área do octógono regular:

  • S = 2l² . (1 + √2)

Observação: utiliza-se a decomposição do octógono em um retângulo e dois trapézios para a dedução da expressão acima.

Sabemos também a seguinte informação a respeito do octógono regular:

  • 2p = 8l.

Videoaula sobre polígonos inscritos e circunscritos

Quer saber mais detalhes do conteúdo? Então acesse a aula do canal Equaciona com Paulo Pereira:

Exercícios sobre polígonos inscritos e circunscritos

Para finalizar seus estudos, veja como polígonos inscritos e circunscritos são cobrados no Enem e no vestibular.

1- (ENEM/2016)    

Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para .

Polígono inscrito exercício 1

O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é

a) 100.

b) 140.

c) 200.

d) 800.

e) 1 000.

2- (ENEM/2018)    

Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.

Polígono inscrito exercício 2

Se a área do círculo inscrito no hexágono é  metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é

a) 9

b) 6√3

c) 9√2

d) 12

e) 12√3

3- (IFSC/2017)    

Seis amigos se sentam em torno de uma mesa redonda, de maneira que formam um hexágono regular perfeitamente circunscrito à mesa, conforme ilustra a figura a seguir.

Polígono inscrito exercício 3

Considerando-se que a mesa tem raio de 1m, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A distância entre dois amigos que estejam lado a lado, como Ana e Bruno, é 1 metro.

02. A distância entre Ana e Bruno é a mesma que existe entre Fabio e o centro da mesa.

04. A distância entre Carla e Eric é de metros.

08. Ninguém na mesa está a mais de 1,5 m de outro amigo sentado à mesa.

16. Se a mãe de Dani colocasse uma toalha de mesa quadrada sobre essa mesa de forma que a toalha ficasse perfeitamente inscrita na circunferência, a toalha teria que ter 2 m2 de área.

Gabarito:

  1. A
  2. B
  3. 18

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.