Os conjuntos numéricos são agrupamentos formados por elementos com as mesmas características. Os 5 conjuntos fundamentais são formados por números naturais, inteiros, racionais irracionais e reais. Saiba mais neste resumo de Matemática para o Enem!
Sabe aqueles grupinhos característicos que tem em todo ensino médio? Toda escola tem aquele grupo que é mais bagunceiro, a galera do fundão, o pessoal mais dedicado e estudioso. Enfim, são muitos os grupinhos. Mas o que todos os grupos tem em comum é que seus membros têm características parecidas, por isso se identificam! Formam conjuntos e na matemática nós chamamos de conjuntos numéricos!
O que são conjuntos numéricos
Conjunto é um agrupamento de elementos com características parecidas, que são semelhantes em sua natureza. Existem 5 conjuntos numéricos fundamentais na matemática. Veja em seguida quais são e quais são os seus símbolos:
- Naturais (N)
- Inteiros (Z)
- Racionais (Q)
- Irracionais (I)
- Reais (R)
Abaixo você pode ver uma representação muito comum dos conjuntos numéricos. Além dos 5 conjuntos citados anteriormente, você ainda encontra o conjunto dos números complexos:
Diagrama de Venn representando os diversos tipos de conjuntos numéricos e sua respectiva ordem de pertencimento.
História dos conjuntos numéricos
É importante saber como surgiram os conjuntos numéricos. Os primeiros números surgiram da necessidade do homem primitivo de contabilizar as coisas, ou seja, de registrar quantidades. Mais tarde esses números foram chamados de números naturais.
Depois, na história, o homem começou a lidar com o comércio e os cálculos passaram a exigir numerais que representassem situações de lucro e de prejuízo. Então, como você deve imaginar, os numerais que passaram a representar o prejuízo foram os números negativos. Em seguida, esses números (negativos e positivos) foram chamados de números inteiros.
Sucessivamente ao longo da história, cada conjunto numérico foi surgindo com a necessidade do ser humano em representar suas vivências. Para demonstrar partes de um inteiro, por exemplo, surgiram os números racionais, nome dado por representarem a razão de uma quantidade sobre outra.
Principalmente na geometria, surgiram também os números irracionais. Como exemplo de número irracional, podemos citar o π, que representa a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.
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Em seguida vamos aprender sobre as propriedades de cada um dos conjuntos numéricos e de como eles são representados matematicamente.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros e positivos, incluindo o número zero. O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N.
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Quando as reticências aparecem à esquerda do último número de um conjunto significa que os elementos vão até o infinito positivo. Enquanto isso, se as reticências aparecem à direita do conjunto, significa que os elementos vão até o infinito negativo.
Além disso, todos os conjuntos numéricos possuem subconjuntos, que são subdivisões dentro daquele grupo de elementos que possuem características bem específicas.
Subconjunto dos números naturais
Representado por N*, esse conjunto representa os números naturais não nulos. Ou seja, sem a presença do elemento nulo, que é o número zero.
N* = {1, 2, 3, 4…}
Lembre-se que sempre que houver a presença do asterisco (*) em qualquer conjunto numérico significa que o elemento zero não faz parte do conjunto.
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros engloba todos os números positivos (números naturais) e também todos os números negativos. Os números inteiros são representados pela letra Z.
Z = {… -4, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…}
Perceba que o conjunto de inteiros engloba o conjunto dos naturais.
Subconjuntos dos números inteiros
- Inteiros não negativos: todos os números positivos e o número zero.
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4…}
- Inteiros positivos: todos os números positivos, sem o número zero.
Z*+ = { 1, 2, 3, 4…}
- Inteiros não positivos: todos os números negativos e o número zero.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros negativos: todos os números negativos, sem o número zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}
- Inteiros não nulos: todos os números, positivos e negativos, sem o número zero.
Z* = {… -4,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados em uma razão. Para isso, o numerador e o denominador dessa razão (fração) precisam ser inteiros e o denominador diferente de zero. Esse conjunto é representado pela letra Q.
Perceba que o conjunto de números racionais engloba o conjunto dos naturais e dos inteiros também.
Lembre-se que frações podem ser escritas sob a forma de decimais finitas ou dízima periódica.
Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais, são aqueles que, ao contrário dos racionais, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros, eles são chamados de decimais não exatos. São representados pela letra I. Por exemplo:
O conjunto dos números irracionais possui essa característica bastante peculiar, portanto, não engloba os conjuntos citados anteriormente.
Conjunto dos números reais
Os conjuntos dos números irracionais e racionais não possuem nenhum elemento em comum, portanto foi necessária a criação de um conjunto que unisse os dois. Esse conjunto é representado pela letra R e engloba TODOS os números racionais e irracionais.
Além do diagrama de Venn, os conjuntos podem ser representados pela notação de intervalos. Veja abaixo exemplos de como escrever cada um deles.
Intervalos reais
- Intervalo aberto
]3, 21[ = {x ∈ R | 3 < x < 21}
Esse intervalo vai de 3 até 21, mas os números 3 e 21 não fazem parte do intervalo.
- Intervalo fechado
[-4, 5] = {x ∈ R | -4 ≤ x ≤ 5}
O intervalo vai de – 4 até 5, ou seja, o intervalo é maior ou igual a – 4 e menor ou igual a 5 (os números – 4 e 5 fazem parte do intervalo).
- Intervalo determinado por desigualdade
[2, 7[ = {x ∈ R | 2 ≤ x < 7}
O intervalo vai de 2 até 7, porém o 7 não faz parte do intervalo
- Intervalo aberto infinito
Esse intervalo contém todos os números maiores que -1/4.
Depois de finalizar este resumo sobre conjuntos numéricos, não deixe de conferir nossas aulas sobre operações com conjuntos numéricos e sobre a teoria dos conjuntos!
Videoaula sobre conjuntos numéricos
Por fim, assista ao vídeo do nosso canal sobre conjuntos numéricos e, em seguida, resolva os exercícios:
Exercícios sobre conjuntos numéricos
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