Ângulos notáveis e identidade trigonométrica fundamental

Os valores de 30°, 45° e 60° são conhecidos como ângulos notáveis e caem muito em questões de vestibulares. Aprenda a fazer operações utilizando esses valores!

Na aula de hoje vamos estudar os ângulos notáveis e os valores das suas razões trigonométricas. No final, também vamos estudar a identidade trigonométrica fundamental e identidades derivadas dela. Vem comigo para mandar bem em trigonometria no Enem e nos vestibulares!

O que são ângulos notáveis

Quando pensamos em ângulos na trigonometria, os valores de 30°, 45° e 60° nos vem à cabeça. Esses ângulos são conhecidos como ângulos notáveis e caem muito em questões de vestibulares, geralmente associados às suas razões trigonométricas. Além deles, a identidade trigonométrica fundamental é de suma importância na trigonometria.

Ângulos de 30º e 60º

Primeiramente vamos estudar os ângulos notáveis 30° e 60°.

Consideremos o triângulo ΔABC equilátero de lado l, conforme imagem abaixo.

Triângulo equilátero - ângulo notável 60
Figura 1: Triângulo ΔABC equilátero de lado l, com ângulos internos iguais a 60°.

Perceba pela imagem acima que todo triângulo equilátero possui ângulos internos iguais a 60°.

Neste tipo de triângulo, a altura coincide com a sua bissetriz, mediatriz e mediana. Tracemos, então, a altura relativa ao lado Lado BC do triângulo. Seja D o pé da altura no segmento Lado BC do triângulo. Consequentemente, temos também a bissetriz do ângulo  e a mediana do lado Lado BC do triângulo.

Assim, passamos a ter a seguinte configuração no triângulo:

Triângulo equilátero - ângulo notável 60
Figura 2: Triângulo ΔABC equilátero de lado l, com ângulos internos iguais a 60°, segmento AD como sendo a altura relativa ao lado BC, bissetriz do ângulo  e mediana do lado BC.

Consideremos agora o triângulo ΔADC. Como este triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras e considerando Altura do triângulo, em que h representa a altura do triângulo ΔABC, temos:

Cálculo da altura do triângulo

Temos então a expressão da altura do triângulo ΔABC em função de seu lado. Vamos dar um zoom no triângulo ΔADC:

Triângulo retângulo - Ângulos notáveis
Figura 3: Triângulo ΔADC, com ângulos internos de 30° em A, 60° em C e 90° em D. AC como hipotenusa medindo l, AD como um dos catetos medindo h e CD como outro cateto medindo l/2.

Já sabemos o valor de h. Agora, vamos descobrir os valores de sen 30º, cos 30º e tg 30º.

Cálculo de seno, cosseno e tangente de 30

Com o mesmo raciocínio, descobriremos os valores de sen 60º, cos 60º e tg 60º:

Seno, cosseno e tangente de 60

Perceba pelas relações acima que:

  • sen 30º = cos 60º
  • sen 60º = cos 30º.

Isso ocorre porque 30° e 60° são ângulos complementares.

Ângulo de 45º

Agora já sabemos quais são os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°. Portanto, vamos ao ângulo de 45°.

Consideremos um quadrado ABCD de lado l, conforme imagem abaixo.

Quadrado - Ângulos notáveis
Figura 4: Quadrado ABCD de lado l.

Em seguida, tracemos uma das diagonais desse quadrado, digamos, Diagonal AC - ângulos notáveis. As diagonais do quadrado também são as bissetrizes dos seus ângulos internos. Dessa forma, sendo d igual a AC, ficamos com a seguinte configuração no quadrado:

Quadrado dividido na diagonal formando ângulos notáveis de 45º
Figura 5: Quadrado de lado l, segmento AC como sendo uma diagonal e, consequentemente bissetriz dos ângulos A e C.

Iniciamos descobrindo quanto vale a diagonal do quadrado em função da medida dos lados. Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ΔACD temos:

d² = l² + l²

d² = 2l²

d = l√2

Com essa informação e, dando um zoom no triângulo ΔACD, temos:

Triângulo retângulo - Ângulos notáveis 45
Figura 6: Triângulo ΔACD, com ângulos internos de 45° em A, 45° em C e 90° em D. AC como hipotenusa medindo d, AD como um dos catetos medindo l e CD como outro cateto medindo l.

Escolhendo qualquer um dos ângulos de 45°, vamos descobrir os valores de sen 45º, cos 45º e tg 45º:

Cálculo de seno, cosseno e tangente de 45

Dessa maneira, aprendemos o valor das razões trigonométricas dos ângulos notáveis.

Podemos agrupar essas informações em uma tabela, da seguinte forma:

Tabela de ângulos notáveis

Apesar de vários exercícios cobrarem os valores de seno, cosseno e tangente de vários ângulos, os notáveis são os mais frequentes. Veja o exemplo abaixo.

Resolução de exercício sobre ângulos notáveis

(Univag MT – 2020) Considere o triângulo retângulo ADE, o retângulo CFED e o triângulo retângulo ABC, com o ponto D sobre o lado AC, conforme mostra a figura.

Exercício sobre ângulos notáveis

A área do retângulo CFED é

a) 12√3 cm2

b) 16√3 cm2

c) 14√3 cm2

d) 10√3 cm2

e) 8√3 cm2

Solução:

Para encontrarmos a área do retângulo, precisamos descobrir quanto valem os seus lados (DE e DC) . E como faremos isso? Vamos utilizar as razões trigonométricas nos dois triângulos que compõem a figura, pois já sabemos os valores dos seus ângulos internos.

Para encontrarmos o valor da medida do lado DE, utilizamos o triângulo ΔADE:

Cálculo do lado de um triângulo usando seno de 30

Agora, perceba que DC = AC – AD. Como não possuímos nenhum desses dois valores, precisamos descobri-los antes.

Para descobrirmos o valor de AD, utilizamos o triângulo ΔADE:

Cálculo do lado de um triângulo usando cosseno de 30

E, para descobrirmos o valor de AC, utilizamos o triângulo ΔABC:

Cálculo seno de 30 - exercício de ângulos notáveisLogo,

DC = AC – AD ⇒ DC = 8√3 – 4√3 ⇒ DC = 4√3

A área do retângulo CFED é dada pelo produto da medida do comprimento pela altura. Ou seja, pelo produto DC x DE, conforme a seguir:

DC x DE = 4√3 x 4 ⇒ DC x DE = 16√3 cm²

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

O exercício acima foi um exemplo de aplicação das razões trigonométricas. No final do post existe uma lista de outros exercícios envolvendo aplicações das razões trigonométricas.

Identidade trigonométrica fundamental

Para fechar nosso estudo, além dos ângulos notáveis, vamos falar de outro assunto extremamente importante: a identidade trigonométrica fundamental.

Consideremos para isso um ângulo α qualquer. A identidade trigonométrica fundamental é dada por:

sen²α + cos²α = 1

Ou seja, dado um ângulo α qualquer, se elevarmos os valores de seu seno e cosseno ao quadrado, e posteriormente somarmos esses dois valores, vamos obter o número 1 como resposta.

Vamos ver isso acontecendo com o ângulo de 30º:

Identidade trigonométrica 30º - ângulos notáveis

Observação: sen² α = (sen α)². Mas por questão visual, é muito mais comum aparecer da forma sen² α. Essa observação é válida também para outras razões trigonométricas e para potências das razões trigonométricas.

Já vimos acima, mas vale ressaltar de novo: a identidade trigonométrica fundamental envolve o seno e o cosseno do mesmo ângulo!

Não é necessariamente válido então, por exemplo, que sen²30º + cos²60º resulte em 1. Faça em casa e comprove você mesmo/a.

Identidades trigonométricas

A partir da identidade trigonométrica fundamental, podemos derivar outras identidades trigonométricas.

Mas, antes de continuarmos, algumas definições são necessárias. Assim, considerando α um ângulo qualquer:

  • A cossecante de α é o inverso do sen α, e é denotada por cossec α: cossec α = 1/sen α
  • A secante de α é o inverso do cos α e é denotada por sec α: sec α = 1/cos α
  • A cotangente de α é o inverso da tg α e é denotada por cotg α: cotg α = 1/tg α
  • Como Tangente de alfae cotangente de alfa, temos que cotangente de alfa.

Sabendo disso, para descobrir outras identidades trigonométricas fazemos o seguinte:

1- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por sen² α e obtemos:

Dividir a identidade trigonométrica por seno ao quadrato

Ou seja,

cossec² α = 1 + cotg² α

2- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por cos² α e obtemos:

Dividir a identidade trigonométrica por cosseno ao quadradoOu seja,

sec² α = tg² α + 1

Pronto! Agora, sempre que precisar, você pode lembrar que para chegar nessas identidades basta você dividir a identidade trigonométrica fundamental por sen² α ou cos² α.  Fica mais fácil do que decorar as três, não acha?

Aqui vale uma observação: as divisões feitas acima só são possíveis para valores de sen α ≠ 0 e cos α ≠ 0. Em consequentemente, sen²α ≠ 0 e cos²α ≠ 0, pois divisão por zero não existe.

Essas identidades podem ser muito úteis em exercícios de simplificação de expressões e equações e/ou inequações trigonométricas. Observe o exemplo abaixo.

Exemplo de questão sobre identidades trigonométricas

UEFS BA (2013) (Adaptada) Se exemplo de cálculo de identidade trigonométrica, então senθ é igual a____, com senθ > 0.

a) -3/2

b) -3/4

c) -2/3

d) 2/3

e) 3/4

Solução: Precisamos desenvolver a igualdade para encontrarmos o valor procurado. Então, vamos encontrar este valor seguindo os passos abaixo:

exercício identidade trigonométrica

Pela identidade trigonométrica fundamental, temos:

sen² θ + cos² θ = 1 cos² θ = 1 – sen² θ

Logo,

Assim, resolvendo esta equação do 2º grau (se você não enxergou a equação, troque senθ por x que fica mais fácil de visualizar), chegamos em duas opções:

Pela condição imposta de que senθ > 0, segue que a resposta é . Portanto, a alternativa correta é a letra “d”.

Videoaula

Por fim, se você quiser revisar o conteúdo das razões trigonométricas dos ângulos notáveis, assista ao vídeo da professora Luana do canal Descomplica:

Exercícios sobre ângulos notáveis

1- (IFAL-2019)    

A figura abaixo mostra um trecho de um mapa rodoviário com duas cidades A e B e uma rodovia principal, representada pela linha tracejada.

Exercício ângulos notáveis

O prefeito da cidade B, pretende construir uma estrada que ligue sua cidade a rodovia principal. Para reduzir custos ele vai construir a estrada com menor comprimento possível. Quantos quilômetros terá essa nova estrada?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 80

2- (UNEB BA-2019)    

Ao decolar, um avião sobe formando, com a pista horizontal, o ângulo de 30º. Essa pista é reta e está a 0,5 quilômetros de distância de uma torre de transmissão de energia elétrica, com 200 metros de altura.

Considerando-se cos 30º = 0,8 e sen 30º = 0,5, se preciso, e mantendo o trajeto da pista, é correto afirmar que, tendo percorrido a distância horizontal de 0,5 quilômetros, o avião

01. irá colidir com a torre, pois estará exatamente a 50m de altura.

02. irá colidir com a torre, pois estará exatamente a 112m de altura.

03. irá colidir com a torre, pois estará, exatamente, a 200m de altura.

04. não irá colidir com a torre, pois estará, aproximadamente, a 112m acima da torre.

05. não poderá colidir com a torre, pois estará, exatamente, voando a 200m acima da torre.

3- (UNIC MT-2019)    

Uma rampa de 2,5m de comprimento e de 1,5m de altura é usada para se ter acesso à emergência de um hospital.

Desejando-se facilitar esse acesso, reduziu-se em 30º o ângulo de inclinação da rampa, que passou a ter um comprimento, em metros, de aproximadamente

01. 3,3

02. 5,5

03. 8,2

04. 10,8

05. 13,6

Gabarito:

  1. B
  2. 04
  3. 05

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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