Ângulos notáveis e identidade trigonométrica fundamental

Na aula de hoje vamos estudar os ângulos notáveis e os valores das suas razões trigonométricas. No final, também vamos estudar a identidade trigonométrica fundamental e identidades derivadas dela. Vem comigo para mandar bem em trigonometria no Enem e nos vestibulares!

O que são ângulos notáveis

Quando pensamos em ângulos na trigonometria, os valores de 30°, 45° e 60° nos vem à cabeça. Esses ângulos são conhecidos como ângulos notáveis e caem muito em questões de vestibulares, geralmente associados às suas razões trigonométricas. Além deles, a identidade trigonométrica fundamental é de suma importância na trigonometria.

Ângulos de 30º e 60º

Primeiramente vamos estudar os ângulos notáveis 30° e 60°.

Consideremos o triângulo ΔABC equilátero de lado l, conforme imagem abaixo.

Perceba pela imagem acima que todo triângulo equilátero possui ângulos internos iguais a 60°.

Neste tipo de triângulo, a altura coincide com a sua bissetriz, mediatriz e mediana. Tracemos, então, a altura relativa ao lado . Seja D o pé da altura no segmento . Consequentemente, temos também a bissetriz do ângulo  e a mediana do lado .

Assim, passamos a ter a seguinte configuração no triângulo:

Consideremos agora o triângulo ΔADC. Como este triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras e considerando , em que h representa a altura do triângulo ΔABC, temos:

Temos então a expressão da altura do triângulo ΔABC em função de seu lado. Vamos dar um zoom no triângulo ΔADC:

Já sabemos o valor de h. Agora, vamos descobrir os valores de sen 30º, cos 30º e tg 30º.

Com o mesmo raciocínio, descobriremos os valores de sen 60º, cos 60º e tg 60º:

Perceba pelas relações acima que:

• sen 30º = cos 60º
• sen 60º = cos 30º.

Isso ocorre porque 30° e 60° são ângulos complementares.

Ângulo de 45º

Agora já sabemos quais são os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°. Portanto, vamos ao ângulo de 45°.

Consideremos um quadrado ABCD de lado l, conforme imagem abaixo.

Em seguida, tracemos uma das diagonais desse quadrado, digamos, . As diagonais do quadrado também são as bissetrizes dos seus ângulos internos. Dessa forma, sendo , ficamos com a seguinte configuração no quadrado:

Iniciamos descobrindo quanto vale a diagonal do quadrado em função da medida dos lados. Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ΔACD temos:

d² = l² + l²

d² = 2l²

d = l√2

Com essa informação e, dando um zoom no triângulo ΔACD, temos:

Escolhendo qualquer um dos ângulos de 45°, vamos descobrir os valores de sen 45º, cos 45º e tg 45º:

Dessa maneira, aprendemos o valor das razões trigonométricas dos ângulos notáveis.

Podemos agrupar essas informações em uma tabela, da seguinte forma:

Apesar de vários exercícios cobrarem os valores de seno, cosseno e tangente de vários ângulos, os notáveis são os mais frequentes. Veja o exemplo abaixo.

Resolução de exercício sobre ângulos notáveis

(Univag MT – 2020) Considere o triângulo retângulo ADE, o retângulo CFED e o triângulo retângulo ABC, com o ponto D sobre o lado AC, conforme mostra a figura.

A área do retângulo CFED é

a) 12√3 cm²

b) 16√3 cm²

c) 14√3 cm²

d) 10√3 cm²

e) 8√3 cm²

Solução:

Para encontrarmos a área do retângulo, precisamos descobrir quanto valem os seus lados (DE e DC) . E como faremos isso? Vamos utilizar as razões trigonométricas nos dois triângulos que compõem a figura, pois já sabemos os valores dos seus ângulos internos.

Para encontrarmos o valor da medida do lado DE, utilizamos o triângulo ΔADE:

Agora, perceba que DC = AC – AD. Como não possuímos nenhum desses dois valores, precisamos descobri-los antes.

Para descobrirmos o valor de AD, utilizamos o triângulo ΔADE:

E, para descobrirmos o valor de AC, utilizamos o triângulo ΔABC:

Logo,

DC = AC – AD ⇒ DC = 8√3 – 4√3 ⇒ DC = 4√3

A área do retângulo CFED é dada pelo produto da medida do comprimento pela altura. Ou seja, pelo produto DC x DE, conforme a seguir:

DC x DE = 4√3 x 4 ⇒ DC x DE = 16√3 cm²

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

O exercício acima foi um exemplo de aplicação das razões trigonométricas. No final do post existe uma lista de outros exercícios envolvendo aplicações das razões trigonométricas.

Identidade trigonométrica fundamental

Para fechar nosso estudo, além dos ângulos notáveis, vamos falar de outro assunto extremamente importante: a identidade trigonométrica fundamental.

Consideremos para isso um ângulo α qualquer. A identidade trigonométrica fundamental é dada por:

sen²α + cos²α = 1

Ou seja, dado um ângulo α qualquer, se elevarmos os valores de seu seno e cosseno ao quadrado, e posteriormente somarmos esses dois valores, vamos obter o número 1 como resposta.

Vamos ver isso acontecendo com o ângulo de 30º:

Observação: sen² α = (sen α)². Mas por questão visual, é muito mais comum aparecer da forma sen² α. Essa observação é válida também para outras razões trigonométricas e para potências das razões trigonométricas.

Já vimos acima, mas vale ressaltar de novo: a identidade trigonométrica fundamental envolve o seno e o cosseno do mesmo ângulo!

Não é necessariamente válido então, por exemplo, que sen²30º + cos²60º resulte em 1. Faça em casa e comprove você mesmo/a.

Identidades trigonométricas

A partir da identidade trigonométrica fundamental, podemos derivar outras identidades trigonométricas.

Mas, antes de continuarmos, algumas definições são necessárias. Assim, considerando α um ângulo qualquer:

• A cossecante de α é o inverso do sen α, e é denotada por cossec α: cossec α = 1/sen α
• A secante de α é o inverso do cos α e é denotada por sec α: sec α = 1/cos α
• A cotangente de α é o inverso da tg α e é denotada por cotg α: cotg α = 1/tg α
• Como e , temos que .

Sabendo disso, para descobrir outras identidades trigonométricas fazemos o seguinte:

1- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por sen² α e obtemos:

Ou seja,

cossec² α = 1 + cotg² α

2- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por cos² α e obtemos:

Ou seja,

sec² α = tg² α + 1

Pronto! Agora, sempre que precisar, você pode lembrar que para chegar nessas identidades basta você dividir a identidade trigonométrica fundamental por sen² α ou cos² α.  Fica mais fácil do que decorar as três, não acha?

Aqui vale uma observação: as divisões feitas acima só são possíveis para valores de sen α ≠ 0 e cos α ≠ 0. Em consequentemente, sen²α ≠ 0 e cos²α ≠ 0, pois divisão por zero não existe.

Essas identidades podem ser muito úteis em exercícios de simplificação de expressões e equações e/ou inequações trigonométricas. Observe o exemplo abaixo.

Exemplo de questão sobre identidades trigonométricas

UEFS BA (2013) (Adaptada) Se , então senθ é igual a____, com senθ > 0.

a) -3/2

b) -3/4

c) -2/3

d) 2/3

e) 3/4

Solução: Precisamos desenvolver a igualdade para encontrarmos o valor procurado. Então, vamos encontrar este valor seguindo os passos abaixo:

Pela identidade trigonométrica fundamental, temos:

sen² θ + cos² θ = 1 ⇒ cos² θ = 1 – sen² θ

Logo,

Assim, resolvendo esta equação do 2º grau (se você não enxergou a equação, troque senθ por x que fica mais fácil de visualizar), chegamos em duas opções:

Pela condição imposta de que senθ > 0, segue que a resposta é . Portanto, a alternativa correta é a letra “d”.

Videoaula

Por fim, se você quiser revisar o conteúdo das razões trigonométricas dos ângulos notáveis, assista ao vídeo da professora Luana do canal Descomplica:

Exercícios sobre ângulos notáveis

1- (IFAL-2019)    

A figura abaixo mostra um trecho de um mapa rodoviário com duas cidades A e B e uma rodovia principal, representada pela linha tracejada.

O prefeito da cidade B, pretende construir uma estrada que ligue sua cidade a rodovia principal. Para reduzir custos ele vai construir a estrada com menor comprimento possível. Quantos quilômetros terá essa nova estrada?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 80

2- (UNEB BA-2019)    

Ao decolar, um avião sobe formando, com a pista horizontal, o ângulo de 30º. Essa pista é reta e está a 0,5 quilômetros de distância de uma torre de transmissão de energia elétrica, com 200 metros de altura.

Considerando-se cos 30º = 0,8 e sen 30º = 0,5, se preciso, e mantendo o trajeto da pista, é correto afirmar que, tendo percorrido a distância horizontal de 0,5 quilômetros, o avião

01. irá colidir com a torre, pois estará exatamente a 50m de altura.

02. irá colidir com a torre, pois estará exatamente a 112m de altura.

03. irá colidir com a torre, pois estará, exatamente, a 200m de altura.

04. não irá colidir com a torre, pois estará, aproximadamente, a 112m acima da torre.

05. não poderá colidir com a torre, pois estará, exatamente, voando a 200m acima da torre.

3- (UNIC MT-2019)    

Uma rampa de 2,5m de comprimento e de 1,5m de altura é usada para se ter acesso à emergência de um hospital.

Desejando-se facilitar esse acesso, reduziu-se em 30º o ângulo de inclinação da rampa, que passou a ter um comprimento, em metros, de aproximadamente

01. 3,3

02. 5,5

03. 8,2

04. 10,8

05. 13,6

Gabarito:

1. B
2. 04
3. 05