Inscrição e circunscrição de sólidos na esfera

Dizemos que um sólido está circunscrito a uma esfera quando ela se encontra no interior do sólido. Já a inscrição ocorre quando a esfera se encontra no interior do sólido. Entenda!

Assim como na geometria plana podemos falar de figuras planas inscritas e circunscritas, podemos estender esse raciocínio para o espaço, estudando a inscrição e circunscrição de sólidos.

Na aula de hoje vamos aprender as relações existentes entre: cubo e esfera, cilindro e esfera, cone e esfera, tetraedro regular e esfera, e octaedro regular e esfera.

Termos importantes da geometria espacial

Antes de iniciarmos o nosso estudo propriamente dito, precisamos estabelecer alguns conceitos para os termos utilizados ao longo dessa aula. Veja:

  • Dizemos que um sólido está circunscrito à esfera quando a esfera se encontra no interior do sólido, tangenciando cada um de seus lados. Nesse caso também podemos dizer que a esfera está inscrita ao sólido.
  • Dizemos que um sólido está circunscrito à esfera quando a esfera se encontra no interior do sólido,
  • , tocando a esfera apenas em seus vértices. Neste caso também podemos dizer que a esfera está circunscrita ao sólido.
  • Quando a esfera está circunscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está inscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por R.
  • Quando a esfera está inscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está circunscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por r.

Seguiremos este padrão de nomenclatura em todos os casos estudados nesta aula, beleza?

Cubo e Esfera

Cubo inscrito à esfera

Quando dizemos que temos um cubo inscrito à esfera, temos a seguinte configuração:

Cubo inscrito numa esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 1: Um cubo de diagonal D, diagonal da face d e lado L inscrito em uma esfera. Fonte: https://brainly.com.br/tarefa/10760089.

Perceba que na configuração acima temos que a diagonal do cubo (D) coincide com o diâmetro da esfera (2R).

Sendo assim, sabendo que D = L√3, temos que é válida a seguinte relação:

D = 2R L√3 = 2R ⇒ R =

Ainda, considerando a diagonal do cubo (D), a diagonal da face inferior do cubo (d) e o lado do cubo (L), temos um triângulo retângulo com hipotenusa D, um cateto d e outro cateto L. Com isso, através do Teorema de Pitágoras, podemos determinar a seguinte relação válida:

D² = d² + L²

Cubo circunscrito à esfera

No caso de um cubo circunscrito à esfera, temos a seguinte configuração:

Cubo circunscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 2: À esquerda, uma esfera inscrita em um cubo. À direita, uma secção mostrando a relação entre o raio da esfera e a aresta do cubo. Fonte: https://bit.ly/3lLU8JA.

Na configuração demonstrada acima temos que o diâmetro da esfera (2r) coincide com a aresta do cubo (L).

Em outras palavras, temos que o raio da esfera equivale à metade do valor da aresta do cubo, ou seja:

Esfera e Cilindro

Tão importante quanto as relações de inscrição e circunscrição de um cubo e uma esfera são as relações de inscrição e circunscrição de um cilindro reto e uma esfera.

Cilindro circunscrito à esfera

Considere primeiro o cilindro circunscrito à esfera. Nesse caso temos a seguinte configuração:

Cilindro circunscrito à esferaFigura 3: Uma esfera de raio r inscrita em um cilindro também de raio da base r. Fonte: https://bit.ly/3pNbND9.

Perceba que neste caso obrigatoriamente temos que o cilindro será equilátero e, assim, h = 2r.

Perceba também que neste caso o raio da esfera e o raio das bases do cilindro possuem o mesmo valor.

Cilindro inscrito à esfera

Agora, se o cilindro estiver inscrito à esfera, temos a seguinte configuração:

Cilindro inscrito à esferaFigura 4: Um cilindro de raio de base r e altura h inscrito em uma esfera de raio R. Fonte: https://bit.ly/3lLU8JA

Agora vamos seccionar este sólido por um plano na posição vertical que passa pelo centro da esfera e do cilindro. Com isso temos a seguinte vista frontal:

Cilindro inscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 5: Secção do cilindro inscrito na esfera mostrando a relação entre o raio da esfera, o raio do cilindro e a altura do cilindro. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/3lLU8JA.

Perceba que, neste caso, a diagonal da secção meridiana do cilindro coincide com o diâmetro da esfera.

Note que é possível formar um triângulo retângulo com hipotenusa medindo 2R (diâmetro da esfera), um cateto medindo 2r (diâmetro do raio da base do cilindro) e outro cateto medindo h (altura do cilindro).

Através do Teorema de Pitágoras temos, então, que:

(2R)² = (2r)² + h²

Esfera e cone

Vamos tratar agora do par cone reto e esfera.

Cone circunscrito à esfera

Considere primeiro o cone circunscrito à esfera. Nesse caso, temos a seguinte configuração:

Cone circunscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 6: Uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio da base R, geratriz g e altura h. Fonte: https://bit.ly/3lLU8JA.

Para entender melhor a estrutura acima, observe também a imagem abaixo:

Secção da inscrição da esfera no coneFigura 7: Secção da inscrição da esfera no cone e relações entre os elementos destes sólidos. Fonte: https://bit.ly/3lLU8JA.

A partir da imagem acima, podemos concluir que os triângulos ΔAOD e ΔABC são semelhantes. Com isso, através das relações de semelhança temos que:

Circunscrição de cone

Ainda, considerando apenas o triângulo ΔAOD temos que:

Circunscrição de cone

Cone inscrito à esfera

Agora, se o cone estiver inscrito à esfera, temos a seguinte configuração:

Cone inscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 8: Um cone de raio da base r e altura h inscrito em uma esfera de raio R. Triângulo retângulo destacado com hipotenusa R, cateto r e outro cateto h-R. Imagem retirada de: https://bit.ly/38SeZqK.

Perceba que neste caso temos um triângulo retângulo com hipotenusa medindo R (raio da esfera), um cateto medindo r (raio da base do cone) e outro caceto medindo h-R (altura do cone menos raio da esfera – pois o vértice de cima do triângulo coincide com o centro da esfera).

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

R² = r² + (h – R)² (1)

Agora repare a imagem abaixo.

Cone inscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 9: Outra representação de um cone de raio da base r e altura h inscrito em uma esfera de raio R. Relações entre os elementos do cone e da esfera destacadas. Fonte: https://bit.ly/3lLU8JA.

Note que o triângulo ΔAO’V’ é retângulo em O’, e através do Teorema de Pitágoras temos que:

Cone inscrito à esfera

Temos também um triângulo retângulo ΔAVV’, com ângulo reto em A. Logo, tal triângulo tem hipotenusa medindo 2R (diâmetro da esfera), um cateto medindo g e outro cateto medindo o valor de z acima.

Logo, pelo Teorema de Pitágoras temos que:

(2R)² = g² + z²

4R² = g² + (2R – h)² + r²

E, com o uso da igualdade destacada em (1) chegamos em:

g² = 2Rh

Veja abaixo mais uma imagem que representa a inscrição do cone na esfera.

inscrição do cone na esferaFigura 10: Representação de um cone de raio da base r, geratriz g e altura h inscrito em uma esfera de raio R. Relações entre os elementos do cone e da esfera destacadas. Fonte: https://bit.ly/36M3f6v.

Tetraedro e esfera

Ainda, precisamos tratar sobre a inscrição e circunscrição dos pares de sólidos: tetraedro regular e esfera; octaedro regular e esfera. Começaremos pelo tetraedro e esfera.

Tetraedro inscrito na esfera

Considerando o tetraedro inscrito na esfera temos a seguinte configuração:

Tetraedro inscrito na esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 11: Um tetraedro regular de aresta a inscrito em uma esfera de raio R. Fonte : https://bit.ly/3nBE6lT.

Observando a imagem acima, podemos concluir  que a seguinte relação é válida:

Tetraedro inscrito na esfera

Com h sendo a altura do tetraedro.

Tetraedro circunscrito à esfera

Agora, considere o tetraedro circunscrito à esfera. Neste caso temos a seguinte configuração:

Tetraedro circunscrito à esfera - inscrição e circunscriçãoFigura 12: Uma esfera inscrita em um tetraedro regular. Fonte: https://bit.ly/2IPIv5u.

Aqui é válido o seguinte:

Tetraedro circunscrito à esfera

Sabendo que a altura do tetraedro é dada por Altura do tetraedro, temos então que:

Raio do retraedro circunscrito à esfera

Por fim, vamos ao par octaedro regular e esfera.

Octaedro regular e esfera

Octaedro inscrito na esfera

Considerando o octaedro inscrito na esfera temos a seguinte configuração:

Octaedro inscrito na esfera- inscrição e circunscriçãoFigura 13: Um octaedro regular de aresta a inscrito em uma esfera de raio R. Fonte: https://bit.ly/3nBE6lT.

Imagine que seccionamos o octaedro por um plano na vertical passando pelo centro da esfera e geramos um quadrado com tal secção (através da secção do octaedro). Neste caso, o diâmetro da esfera coincide com a diagonal do quadrado, ou seja:

Agora, se considerarmos o octaedro circunscrito à esfera temos a seguinte configuração:

Octaedro inscrito na esfera- inscrição e circunscriçãoFigura 14: Uma esfera de raio r inscrita em um octaedro regular. Imagem retirada de: https://bit.ly/2IPIv5u.

Vamos representar a mesma situação, mas com mais detalhes:

Uma esfera de raio r inscrita em um octaedro regularFigura 15: Uma esfera de raio r inscrita em um octaedro regular. Destaque para um triângulo retângulo que relaciona a medida do raio da esfera com as medidas do octaedro regular. Fonte: https://bit.ly/3kItcJp.

Perceba, então, que o raio da esfera inscrita equivale à altura relativa a hipotenusa do triângulo retângulo ΔAOM.

Com isso, através das relações métricas de um triângulo retângulo, chegamos na seguinte relação:

Octaedro inscrito na esfera- cálculo

Observação: os exercícios de vestibular podem cobrar ainda inscrição e circunscrição de outros pares de sólidos, como por exemplo, cone e cilindro.

Baseado nos aprendizados obtidos através desta aula, tente você em casa desenhar o cilindro e o cone e retirar as relações obtidas.

Você pode encontrar mais detalhes sobre os demais pares de sólidos e suas relações através de inscrição e/ou circunscrição em:

Dolce, O., & Pompeo, J. N. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar: Geometria Espacial (Vol. 10). São Paulo – SP: Atual.

Videoaula sobre inscrição e circunscrição de sólidos

Quer ver mais detalhes sobre o conteúdo desta aula? Então assista à videoaula:

Exercícios

1- (UNIRG TO/2019)    

Um cubo está inscrito em uma esfera de raio 2√3 metros. Nessas condições, o volume do cubo é de:

a) 1 m3;

b) 8 m3;

c) 27 m3;

d) 64 m3.

2- (ESPCEX/2018)    

O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm3 é igual a

a) 38cm3.

b) 36cm3.

c) 34cm3.

d) 32cm3.

e) 30cm3.

3- (IFGO/2011)    

De acordo com os resultados estabelecidos por Arquimedes de Siracusa (287-282 a.C.) sobre a esfera e o cilindro, é correto afirmar que:

a) O volume da esfera é 2/3 do volume do cilindro circunscrito a ela.

b) A área de uma superfície esférica é 3/2 da área total do cilindro circunscrito a ela.

c) A área total do cilindro é 2/3 da área da superfície da esfera inscrita nele.

d) O volume do cilindro é 2/3 do volume da esfera inscrita a ele.

e) O volume da esfera é 3/2 do volume do cilindro circunscrito a ela.

4- (UCS RS/2016)    

Uma ampulheta tem a forma de dois cones circulares retos idênticos (mesmo raio e mesma altura) no interior de um cilindro circular reto, conforme mostra a figura.

Exercício circunscrição e inscrição de sólidos

O volume da parte do cilindro sem os dois cones é igual _____ soma dos volumes desses cones. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima.

a) à

b) ao dobro da

c) à metade da

d) a um terço da

e) a dois terços da

Gabarito:

  1. D
  2. B
  3. A
  4. B

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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