Como calcular área e volume de um prisma

Nesta aula vamos estudar diferentes tipos de prisma, objetos da geometria espacial que aparecem nas questões de volume e área de superfície. Ao fim do post também daremos uma atenção especial aos cilindros. Acompanhe a sétima aula da nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas”.

O que é um prisma

Os prismas são poliedros convexos que possuem duas bases iguais, poligonais e paralelas, e faces planas laterais que as unem. Vejamos um exemplo:

Podemos imaginar que um prisma é o resultado de pegarmos um polígono da geometria plana (um triângulo, um quadrado etc.) e o “esticarmos” por uma terceira dimensão. Ainda podemos entender que são objetos cotidianos, como uma pilha de papéis de mesmo formato, uma caixa, etc.

Questões envolvendo prismas geralmente exigem que você saiba calcular uma de duas grandezas: o seu volume ou sua área de superfície. Para aprender a calcular esses elementos precisamos notar algumas coisas sobre o prisma.

Elementos dos prismas

Como sua base é um elemento da geometria plana, poderemos utilizar conhecimentos que já aprendemos nas últimas aulas da série para calcular sua área e seu perímetro. Além disso, como o prisma é um elemento da geometria espacial, fica fácil determinar que uma de suas dimensões será sua altura, veja na imagem:

Podemos classificar os prismas quanto à sua base. Por exemplo, se um prisma possui uma base quadrilátera, dizemos que ele é um prisma quadrangular; se possui triângulo como uma base, dizemos que é um prisma triangular, etc. Veja alguns exemplos mais comuns:

Cálculo de volume de um prisma

Antes de falar diretamente sobre o cálculo do volume do prisma, vamos pensar em quais tipos de questões ele pode aparecer. É muito comum em provas que se peça para calcular a quantidade de líquido em um recipiente ou, ainda, o quanto de uma certa medida de volume de um produto caberia neste recipiente. Nesses casos, se o recipiente for prismático (duas bases iguais e uma altura), poderemos utilizar as fórmulas de volume do prisma para o cálculo direto.

Agora, como os prismas podem possuir bases diferentes, o cálculo para cada tipo de base será diferente. Entretanto, o modelo para a fórmula será o mesmo.

Para calcular o volume de um prisma, primeiramente precisamos calcular a área de sua base. Com isso feito, basta multiplicar a área da base pela altura do prisma. Assim, a fórmula para o volume do prisma fica:

V = A_base . h

Onde A_base representa a área da base e h representa a altura.

Exemplo de cálculo de volume

Calcule o volume do prisma triangular a seguir.

Para resolver esta questão, vamos começar isolando a base do nosso prisma. Ficamos apenas com o triângulo:

Veja que este triângulo tem altura 3 cm e base 2 cm. Portanto, usamos a fórmula da área do triângulo para calcular a área da base:

Em seguida, voltamos para o prisma inteiro. Veja que, mesmo com o prisma deitado, podemos verificar que sua altura é de 5 cm (atenção aqui que estamos usando a altura do prisma e não de sua base). Podemos aplicar esses dois valores encontrados na fórmula do volume de um prisma:

V = A_base . h

V = 3 cm³ . 5 cm

V = 15 cm³

Cálculo de área de superfície de um prisma

Antes de irmos para o cálculo da área de superfície, vamos entender bem esse conceito. A área de superfície de um prisma é a soma de todas as áreas presentes em todas as suas faces. Elas incluem as duas bases e todas as faces planas laterais.

Para ilustrar um pouco mais, pense em uma caixa retangular feita de papelão. Essa caixa é um prisma e sua área de superfície é a soma de toda a área de papelão necessária para montar essa caixa (sem considerar as sobrinhas e imperfeições em cada lado).

O cálculo dessa área não precisa necessariamente de fórmula. Na verdade, como várias questões do Enem envolvem interpretação, é até melhor que não usemos fórmulas. Vamos ver um exemplo.

Exemplo de cálculo de área

Calcule a área e superfície do prisma retangular a seguir

Como dito anteriormente, vamos calcular a área de todas as faces. Começando pelas bases, vemos que temos duas bases quadradas de lado 3 cm. Portanto, vamos calcular a área dessas bases. Como são duas, será duas vezes esta área.

2 . (3 cm . 3 cm) = 2 . (9 cm²) = 18 cm²

O prisma possui 4 faces laterais e todas são retangulares. Cada face tem um dos lados medindo exatamente a altura do prisma, que é 6 cm, e o outro lado medindo 3 cm, são os lados compartilhados com as bases quadradas. Dessa forma, temos o seguinte:

4 . (6 cm . 3 cm) = 4 . (18 cm²) = 72 cm²

Note que na primeira expressão calculamos a área de duas faces e na segunda calculamos a área de 4 faces, de forma conjunta. Como a área de superfície é a soma de todas essas áreas, basta somá-las.

A_superfície = 18 cm² + 72 cm² = 90 cm²

Alternativamente, pode-se usar a seguinte fórmula:

A_superfície = 2 . A_base + P_base . h

Onde P_base  é o perímetro da base. No mesmo exemplo ficaríamos com:

A_base = 3 cm . 3 cm = 9 cm²

P_base = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 12 cm

A_superfície = 3 . 9 cm² + 12 cm . 6 cm = 18 cm² + 72 cm² = 90 cm²

Como calcular área nas provas

Entretanto, como dito anteriormente, não é tão recomendado depender dessa fórmula e temos alguns motivos para isso. O primeiro deles é que ela não será oferecida no caderno de questões, fazendo você ter que gravar mais uma fórmula em vez de entender o processo de soma de área e fazer manualmente.

O segundo motivo é que em muitas questões o objetivo não será calcular a área de superfície total, e sim uma fração dela. Um exemplo desse tipo de questão é pedir para calcular a área de superfície (ou ainda, o quanto em m² de papelão será utilizado) para uma caixa sem tampo.

Quando fazemos as contas manualmente, fica fácil perceber essas nuances e remover o tampo da conta. Nesse caso seria deixar de somar a área da base uma vez. Se utilizássemos a forma, isso poderia passar despercebido.

Cilindros

Cilindros são figuras muito parecidas com prismas, só que em vez das bases serem polígonos, elas são círculos. Felizmente, as questões envolvendo cilindros continuam parecidas e envolvem, em sua maioria, cálculo de volume e área.

De forma ainda mais positiva, as fórmulas continuam bem parecidas. No caso do cilindro, é mais recomendado que você se lembre da fórmula para o cálculo da área, já que calcular a área manualmente no meio da prova pode levar muito tempo. As fórmulas são as seguintes:

V = A_base . h = 2 πr . h

A = 2πr (r + h)

Onde r é o raio do círculo e h a altura do prisma. Perceba que a primeira fórmula é a mesma que usamos para prismas, apenas substituindo a área da base pela área do círculo.

Videoaula

Para finalizar sua revisão, não deixe de assistir ao 7º episódio da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” com o professor Lucas!

Exercícios sobre prisma

Por fim, teste seus conhecimentos sobre prismas e cilindros com a lista de questões do Enem:

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