Grandezas e relações de dependência

Já parou pra pensar em quantas questões de equivalência entre grandezas costumam cair na prova do Enem? E não é só na prova de matemática não, até para a prova de química e de física você precisa estar preparado para o que der e vier. Vamos nessa?

As relações de dependência entre grandezas podem ser facilmente observadas no nosso dia a dia. Uma grandeza é tudo o que é suscetível de ser acrescentado ou diminuído. Sendo assim, se uma grandeza pode ser acrescida ou diminuída e ao mesmo tempo se relacionar com outra grandeza, significa que dependendo da relação estabelecida entre as duas, essa segunda grandeza também vai ser acrescida ou diminuída de algum valor.

Nesta aula vamos aprender a identificar as diferenças entre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais para que você chegue com tudo na hora da prova do Enem! 

Comprimento, massa, velocidade, tempo, volume, capacidade e temperatura são alguns exemplos de grandezas que constantemente aparecem no nosso dia a dia. As grandezas podem se relacionar entre si,  como por exemplo, ao calcularmos a velocidade, relacionamos o espaço percorrido com o tempo. Ou seja, uma medida de comprimento com uma medida de tempo.

As grandezas relacionadas podem ser classificadas de duas diferentes formas: grandezas diretamente proporcionais  e inversamente proporcionais. A seguir, iremos detalhar cada uma delas.

Grandezas Diretamente Proporcionais

As grandezas diretamente proporcionais se relacionam entre si, assim como nome sugere. De uma forma bem direta, quando uma grandeza aumenta ou diminui, a outra aumenta ou diminui proporcionalmente. Mas o que isso significa? Observe o exemplo abaixo e entenda:

Exemplo 1: Quando uma pessoa fala que seu veículo faz 13 por 1, ela está querendo dizer que este veículo percorre 13 km com 1 litro de combustível. Em uma viagem de 1600 km, quantos litros de combustível serão gastos?

Resposta: Perceba que as grandezas que estão sendo relacionadas são diferentes entre si. Estamos relacionando uma medida de comprimento, que é o quilômetro, e uma medida de capacidade, que é o litro.

Geralmente, para solucionar questões como essa, utilizamos a famosa regra de três, montando o esquema

13 km   equivale 1 L

1600 km equivale x L

Resultando em:

grandezas

Ou seja, serão gastos aproximadamente 123 litros de combustível para fazer uma viagem de 1600 km.

Perceba como ao aumentarmos o percurso, a quantidade de combustível também aumentou. Esse aumento ocorreu de uma forma diretamente proporcional. A recíproca também é verdadeira: se diminuirmos o percurso, o consumo de combustível também é menor.

Grandezas inversamente proporcionais

Neste caso, podemos utilizar a mesma lógica do nome sugestivo para dizer que grandezas são inversamente proporcionais quando se relacionam entre si de forma inversa. Ou seja, quando operações inversas são utilizadas nos cálculos. Sendo assim, se triplicarmos uma grandeza, a outra é dividida por 3; se elevarmos uma grandeza ao quadrado, na outra é aplicada a raiz quadrada.

A grosso modo, pode-se dizer que grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui, e vice-versa.

Um exemplo clássico de grandezas inversamente proporcionais são o tempo e a velocidade. Quando a velocidade aumenta, o tempo de deslocamento de um ponto até outro diminui.

Veja em um exemplo como isso funciona:

Exemplo 2: Qual é a velocidade de um trem que gasta 2 horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?

Resposta: Para solucionar esse exemplo você precisa lembrar das regrinhas utilizadas na regra de três.

Então, construímos uma proporção entre a velocidade do automóvel e o tempo gasto no percurso. essa proporção é:

Por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, utilizamos uma técnica de resolução onde inverte-se uma das razões da proporção apresentada acima. Depois, calcula-se normalmente a regra de 3.

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

Ou seja, a velocidade do trem ao realizar o percurso em 2 horas é maior do que a velocidade em que ele estava ao realizar o percurso em 6 horas. No percurso de 2 horas a velocidade foi de 90 km/h e no percurso de 6 horas foi de 30 km/h.

E então? O que achou dessa aula? Confere essa explicação dada pela professora Ângela e complemente seus estudos:

 Exercícios:

 Questão 1) (UFG) Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 segundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas condições, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo tempo, serão necessários, em minutos:

a) 20

b) 24

c) 33

d) 50

e) 83

 

Questão 02)  O veículo terrestre mais veloz já fabricado até hoje é o Sonic Wind LSRV, que está sendo preparado para atingir a velocidade de 3 000 km/h. Ele é mais veloz do que o Concorde, um dos aviões de passageiros mais rápidos já feitos, que alcança 2 330 km/h. Para percorrer uma distância de 1 000 km, o valor mais próximo da diferença, em minuto, entre os tempos gastos pelo Sonic Wind LSRV e pelo Concorde, em suas velocidades máximas, é

a) 0,1.

b) 0,7.

c) 6,0.

d) 11,2.

e) 40,2.

 

Questão 03)  Sabe-se que uma grandeza A é inversa­mente proporcional ao quadrado de uma grandeza B e que, quando A vale 1, B vale 6. Pode-se afirmar que, quando A vale 4, a grandeza B vale:

a) 1

b) 1,5

c) 3

d) 4

e) 4,5

 

Questão 04) Se a quantidade z é, simultaneamente, diretamente proporcional a x e inversamente proporcional a y, e se z = 5 quando x = 2 e y = 3, então o valor de z quando x = 96 e y = 10 é

a) 72.

b) 82.

c) 75.

d) 68.

 

1) Gab: B

2) Gab: C

3) Gab: C

4) Gab: A

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.