Como resolver equações trigonométricas

Equações trigonométricas são as equações que envolvem funções trigonométricas, tais como seno, cosseno e tangente. Saiba como utilizar as fórmulas de cada uma!

Um tópico muito frequente ao se estudar matemática é a resolução de equações. Essa frequência se justifica pela variedade existente de tipos de equações, como as de 1º grau, de 2º grau, exponenciais, logarítmicas, entre outras. Cada uma tem sua aplicação e métodos de resolução adequados. Nesta aula, iremos aprender sobre as equações trigonométricas, como elas são e como resolvê-las.

O que são equações trigonométricas

Equação trigonométrica é aquela que envolve funções trigonométricas, tais como seno, cosseno e tangente. Ao resolvê-las, nosso objetivo é o mesmo: encontrar valores possíveis para a(s) variável(is). Nesse contexto, as variáveis assumiram valores referentes a ângulos no círculo trigonométrico. Assim sendo, vamos utilizar os conceitos estudados em trigonometria e as identidades trigonométricas.

Vamos iniciar nossos cálculos com um exemplo:

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Exemplo de equação trigonométrica

Encontre todos os valores possíveis de x para a equação trigonométrica a seguir:

Equações trigonométricas - senx

Conferindo a tabela de ângulos notáveis, podemos concluir que um dos valores possíveis para x é o de 30º.

Tabela de ângulos notáveis

Como resolver equações trigonométricas

Diferente de outros tipos de equações, as equações trigonométricas geralmente vão possuir infinitas soluções. Isso acontece porque o círculo trigonométrico possui infinitas voltas com ângulos de seno, cosseno e tangente congruentes. Portanto, vamos ter de encontrar expressões compatíveis com os ângulos procurados.

Para isso, vamos seguir alguns procedimentos que facilitam a resolução do exemplo anterior:

Comece sempre encontrando todas as soluções na primeira volta do círculo trigonométrico. No nosso caso, conhecemos a função sen(x) e sabemos que em uma volta do círculo temos apenas duas soluções possíveis. Já temos a primeira solução, a segunda pode ser encontrada utilizando a seguinte fórmula:

sen(x) = sen(180 – x)

Com ela, substituímos x por 30º e conseguimos concluir que a segunda solução para a primeira volta no círculo trigonométrico será 150º.

Agora, para todas as soluções distintas escreveremos uma expressão que simboliza o ângulo em diferentes voltas do círculo trigonométrico. Para isso, precisamos apenas somar 360º um número inteiro de vezes – isso representará uma volta no círculo trigonométrico por vez. Portanto, para “n” número inteiro, nossa resposta será:

x = 30º + 360º . n

Ou

x = 150º + 360º . n

Para esse tipo de questão, é muito comum que a resposta final seja em 𝝅radianos. Para converter nossa resposta em radianos, precisamos lembrar que 180º equivale a 1 𝝅 radianos e também que vamos representar ângulos em frações de 𝝅radianos. Nesse contexto, a resposta seria:

Equações trigonométricas 1rad

Ou

Equações trigonométricas sen180

Atenção: embora esse exemplo tenha pedido todas as soluções, algumas questões podem vir a pedir intervalos limitados. Por exemplo, a questão pode limitar a resposta aos ângulos na primeira volta do círculo trigonométrico, nesse caso as respostas seriam 30º e 150º.

Equações trigonométricas fundamentais

Dentre as equações trigonométricas, podemos destacar as seguintes:

  • sen(x) = sen(α)
  • cos(x) = cos(α)
  • tan(x) = tan(α)

Onde o ângulo alpha (α) é conhecido. Note que o exemplo 1 é da mesma forma que a equação 1, bastando substituir ½ por sen(𝝅/6).

A essas três equações damos o nome de equações trigonométricas fundamentais. Elas têm esse nome porque muitas equações trigonométricas podem ser simplificadas até terem a mesma forma que uma dessas três.

Outra vantagem de se estudar essas equações é que elas podem ser resolvidas através de fórmulas. Assim, todas as equações trigonométricas que podem ser simplificadas em uma equação fundamental também podem ser resolvidas por uma fórmula.

Fórmulas para sen(x) = sen(α)

Para um ângulo α conhecido, podemos resolver uma equação da forma sen(x) = sen(α) usando as seguintes fórmulas:

x = α + 2 . k . 𝝅

Ou

x = (𝝅 – α) + 2 . k . 𝝅

Para “k” número inteiro.

Essas duas fórmulas vão gerar ângulos diferentes e é importante que você considere as duas na hora de resolver uma questão.

Exemplo

Resolva a equação trigonométrica a seguir:

Equação trigonométrica senx

Embora a equação fornecida não esteja no formato de uma das equações fundamentais, podemos simplificá-la a fim de se tornar uma equação de igualdade de senos, veja só:

Pela propriedade fundamental da trigonometria sabemos que:

cos + sen = 1

Note que podemos isolar a expressão com seno e obter:

sen = 1 - cos

Substituindo na equação original, obtemos:

Equação trigonométrica senx simplificada

Tirando a raiz, obtemos uma equação fundamental:

Equação fundamental seno

Agora, basta aplicar as fórmulas:

Fórmula senx

ou

Fórmula2 senx

Para “k” número inteiro. Essas duas expressões são sua resposta final.

Fórmulas para cos(x) = cos(α)

Para um ângulo α conhecido, podemos resolver uma equação da forma cos(x) = cos(α) usando as seguintes fórmulas:

x = α + 2 . k . 𝝅

Ou

x = – α + 2 . k . 𝝅

Para “k” número inteiro.

Da mesma forma que no seno, as duas fórmulas precisam ser consideradas para resolver questões.

Exemplo

Encontre o valor de x mais próximo ao ângulo de 8𝝅 que resolva a equação a seguir:

cos(x) = 1

Nesse exemplo, observe que parte da equação é numérica. Para resolvê-la, precisamos transformar o valor numérico 1 em uma função trigonométrica adequada. Veja que podemos usar a igualdade cos(0) = 1 para substituir 1 pelo cosseno do ângulo 0. Dessa forma, encontramos a equação fundamental:

cos(x) = cos(0)

Assim, podemos resolver a equação utilizando as fórmulas:

x = 0 + 2 . k . 𝝅

ou

x = – 0 + 2 . k . 𝝅

Para k números inteiros.

Note que essas expressões são idênticas. Portanto, podemos simplificar nossa resposta a uma única expressão:

x = 2 . k . 𝝅

Entretanto, essa questão não pede uma infinidade de ângulo, mas sim, um ângulo específico – aquele mais perto do ângulo 8𝝅. Assim, podemos concluir que a resposta será aquela onde k = 4, o próprio 8𝝅:

x = 2 . 4 . 𝝅

x = 8 𝝅

Fórmula para tan(x) = tan(α)

Para um ângulo  conhecido, podemos resolver uma equação da forma tan(x) = tan(α) usando a seguinte fórmula:

x = α + k . 𝝅

Para “k” número inteiro.

Diferente das últimas duas funções, a função tangente tem fórmula única. Isso acontece já que seu período é de meia volta -1𝝅 radianos – no círculo trigonométrico.

Exemplo

Resolva a equação trigonométrica a seguir:

Equações trigonométricas tg

Esse exemplo pode parecer mais complicado, mas vamos resolvê-lo por partes para que fique tudo claro.

Podemos notar duas partes dessa expressão que podemos simplificar. A primeira é o termo que envolve a função termo secante do ângulo x. Aqui podemos substituir usando a igualdade sec = 1/cos.

A segunda parte é o termo que envolve o seno da soma dos ângulos x e 𝝅/4. Aqui, podemos usar a fórmula para soma de senos sen(a + b) = sen(a) * cos(b) + sen(b) * cos(a). Fazendo essas substituições, obtemos a seguinte equação:

Equações trigonométricas tag

Podemos simplificar os termos envolvendo seno de 𝝅/4 e cosseno de x, com isso obtemos:

Equações trigonométricas tg simplificada

Em seguida, podemos separar os termos envolvendo ângulos diferentes em lados opostos da equação, para isso, dividimos ambos os lados por cos(𝝅/4):

Equações trigonométricas - resolução

Por fim, podemos aplicar a definição de tangente para simplificar a expressão em uma equação fundamental:

Equações trigonométricas tangente

Concluímos aplicando a fórmula da equação fundamental da tangente para o ângulo 𝝅/4:

Equações trigonométricas tangente - resultado

Para “k” número inteiro.

Videoaula

Agora que você já sabe resolver equações trigonométricas, pode revisão um pouco mais de trigonometria assistindo a nossa videoaula sobre círculo trigonométrico apresentada pelo professor Lucas:

Exercícios sobre equações trigonométricas

1- (Unipê PB/2019)

Sendo cos(x) = -1/4, com x pertencente ao 3º quadrante, o valor do tg2(x) é

a) 4

b) 7

c) 9

d) 15

e) 17

2- (Mackenzie SP/2018)

Se cosx = 2/3, 3 𝝅/2 ≤ x ≤ 2 𝝅 então o valor de tg x é igual a

a) – √5/3

b)- √5/2

c) √5/3

d) √5/2

e) 2 √5

3- (Universidade Iguaçu RJ/2018)

É correto afirmar que o triplo da soma das raízes da equação 2 cos 2x + 1 = 0 que estão no intervalo 0 ≤ x ≤ 𝝅 é

01) 𝝅

02) 3 𝝅/2

03) 2 𝝅

04) 5 𝝅/2

05) 3 𝝅

4- (Fac. Santo Agostinho BA/2020)

O menor valor que assume a expressão (6 – senx); para x variando de 0º a 360º é:

a) 7.

b) 6.

c) 5.

d) 1.

e) –1.

5- (FGV /2018)

No intervalo [0, 2 𝝅], as raízes da equação

4 sen3 x – 8 sen2 x + 5 senx – 1 = 0 têm por soma o número:

a) 5 𝝅/6

b) 𝝅

c) 5 𝝅/3

d) 7 𝝅/6

e) 3 𝝅/2

GABARITO:

  1. 04
  2. B
  3. 05
  4. C
  5. E

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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